青少年编程与数学 02-015 大学数学知识点 06课题、离散数学

离散数学是研究离散对象及其结构的数学学科，它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。这里是离散数学核心知识点的详细汇总。

一、数理逻辑

1. 命题逻辑
   • 基本概念：命题、命题常项、命题变项、联结词（如“非”、“或”、“与”等）、命题公式。
   • 悖论与非命题：悖论指自相矛盾的命题，非命题则指无法判断真假的陈述。
   • 命题公式的表达：真值表、析取合取范式。
   • 可满足性问题：涉及消解法等。
   • 等值式与算律：双重否定律、结合律、交换律、幂等律、分配律、吸收律、德摩根律等。
   • 重言式、矛盾式与可满足式：根据命题公式的真值情况分类。
2. 一阶逻辑
   • 基本概念：个体词（常项、变项、约束、自由）、谓词（常项、变项）、量词（任意、存在）、一阶语言、谓词公式、解释。
   • 一阶逻辑的等值式：如消去量词、量词否定、量词辖域收缩与扩张、量词分配等。
   • 置换规则：换谓词名、换约束个体名、换自由个体名。
   • 形式系统：自然推理系统（命题自然推理系统、一阶逻辑自然推理系统）和公理推理系统（如弗雷格公理系统、卢卡西维茨公理系统、罗素公理系统、亨廷顿公理系统、ZFC公理系统等）。

二、集合论

1. 基本概念：集合（相异、无序）、元素、隶属关系、包含关系、子集、幂集、空集、全集。
2. 集合运算：交、并、广义并、广义交、补、相对补（差）、对称差。
3. 集合的基数与Venn图：用于描述集合的大小和可视化集合关系。
4. 容斥原理：用于计算多个集合的并集或交集的元素数量。
5. 关系：表达集合间或元素间的联系，具有自反性、对称性、传递性等性质。
6. 等价关系与划分：等价关系将集合划分为等价类。
7. 偏序关系与哈斯图：描述元素间的部分排序关系。
8. 映射/函数：定义域、值域、像、完全原像、单射、满射、双射、复合函数、逆函数等。

三、代数系统

1. 运算：映射到自身的映射，包括一元运算和二元运算。

2. 六律四元：结合律、交换律、幂等律、消去律；分配律、吸收律；单位元、逆元、零元、补元。

3. 代数系统类型

   ：群、环、域、格、布尔代数等。

   • 群：具有封闭性、结合性、单位元、逆元的代数结构。
   • 环：加法构成交换群，乘法构成半群的代数结构。
   • 域：加法、乘法均构成交换群的代数结构，且乘法无零因子。
   • 格：满足结合律、交换律、吸收律的偏序集。
   • 布尔代数：具有补元和分配律的格。

四、图论

1. 图的分类：无向图、有向图；标定图、非标定图。
2. 基本概念：点（顶点）、边、邻域、关联边、端点、相邻边、割、桥。
3. 进阶及高级概念：度、握手定理、度数列、HAVEL定理（可图化、可简单图化）、k-core、k-truss、k-clique、k-club、p-cohesion、k-edge/vertex connected、k-shell等。
4. 图的表示：集合表示、矩阵表示（关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵）。
5. 图的操作：增加/删除点/边、收缩边、求补、并、交、差、环和等。
6. 连通性：通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路；无向图的点连通、边连通、最小度；有向图的强连通图、单向连通图、弱连通图等。
7. 图的遍历：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）。
8. 特殊的图：二部图、欧拉图、半欧拉图、哈密顿图、树、最小生成树（Kruskal算法、Prime算法、破圈法）等。

五、初等数论

1. 基础知识：欧几里得原理、整除性质、素数、合数及其判定、算术基本定理（因子分解定理）。
2. 最大公约数与最小公倍数：计算及其性质。
3. 费马小定理：描述整数在模运算下的性质。
4. RSA密钥：基于数论中的大数分解问题设计的加密算法。

六、组合数学

1. 排列与组合：描述元素的不同排列方式。
2. 递归关系与生成函数：描述序列项之间关系的表达式，以及将序列表示为多项式或级数的方法。
3. 计数问题：涉及如何有效地计算满足特定条件的元素数量，常用方法包括容斥原理、鸽巢原理等。

总结

综上所述，离散数学是一门涉及广泛且应用丰富的学科，其知识点众多且相互关联。掌握这些知识点对于理解和应用离散数学在各个领域中的实际问题具有重要意义。