区间DP总结

前言：

写了几道区间DP，略有感悟：

常规的区间DP其实是一种较为模板的东西
首先就是 数据范围一般为 500 ~ 700，也只有在这个范围内才能做到 $O(n^3)$ 的复杂度来解决问题。

其次就是写法也较为模板，基本为三重循环的嵌套：

• 最外层循环枚举 $len$，也就是区间长度从小到大；
• 第二层循环枚举左边界 $l$，然后可以根据 $r=l+len-1$ 直接计算出右边界；
• 第三层循环枚举分界点 k，也就是大区间是由哪两个小区间拼凑起来的。

之后就是不同题目不同处理了。

Codeforces Round 336 (Div. 1) B. Zuma

• 知识点：回文串，区间DP

根据数据量我们可以锁定区间DP，然后就是思考状态转移公式：

$f[l][r]$ 表示 $l$ ~ $r$ 的区间全部删除的最小次数。
思考状态转移：

• 首先根据三板斧，我们可以推出，$f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+1][r],f[l][r])$
• 题目中提到如果是回文串，则可以一步删除，由于 $l$ ~ $r$ 的区间都已经删完了（所以 $l$ ~ $r$ 就是一个回文串），所以只要 $s[l-1]$ = $s[r+1]$ 那么 $l-1$ ~ $r+1$ 是一个回文串，所以我们的状态还可以这样转移： $f[l][r]=min(f[l+1][r-1]+1,f[l][r])$

第二种情况也可以理解为，上一步删除的那部分小回文串可以连同更大的回文串一并删除，那么这步操作的贡献上一步已经一并计算过了，就可以优化掉一步。

这里把初始化写在一起了

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(n + 1, INF));
    for (int len = 1; len <= n; len++) {
        for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
            int r = l + len - 1;
            if (len <= 2 && a[l] == a[r]) {
                f[l][r] = 1;
            } else {
                if (a[l] == a[r]) f[l][r] = f[l + 1][r - 1];
                for (int k = l; k < r; k++) {
                    f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r]);
                }
            }
        }
    }
    cout << f[1][n] << endl;
}