信息学奥赛一本通 1611：仓库建设 | 洛谷 P2120 [ZJOI2007] 仓库建设

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ybt 1611：仓库建设
洛谷 P2120 [ZJOI2007] 仓库建设

【题目考点】

1. 动态规划：斜率优化动规

【解题思路】

状态定义

• 阶段：将前i个工厂的产品都运进仓库
  由于只能往编号更大的工厂运货，为了保证前i个工厂的货都进仓库，那么第i工厂必须建立仓库。
• 决策：在哪个工厂建立仓库
• 策略：选择工厂建立仓库的方案
• 策略集合：要想将前i个工厂的产品都运进仓库，建立仓库的方案
• 条件：费用最小
• 统计量：费用

状态定义$d{p}_i$：考虑将前$i$个工厂的产品都运进仓库，且一定在第$i$工厂建立仓库的所有方案中，费用最小的方案的费用。
初始状态$d{p}_0=0$

状态转移方程

• 策略集合：要想将前i个工厂的产品都运进仓库，建立仓库的方案
• 分割策略集合：由于最后一个仓库已经必须建在第$i$工厂，那么根据倒数第二个仓库建立的位置分割策略集合。

设倒数第二个仓库建立在工厂$j$，$j$最小可以为0，也就是不建立倒数第二个仓库，一共只在第$i$工厂建一个仓库。$j$最大可以为$i-1$，因此$0\le j\le i-1$。

• 在第$j$工厂建立仓库后，将前$j$个工厂的产品都运进仓库，且在第$j$工厂建立仓库的最小费用为$d{p}_j$。
• 第$j+1$工厂的产品需要运到第$i$工厂的仓库，有$p_{j+1}$个产品，运送距离为$x_i-x_{j+1}$，费用为$p_{j+1}(x_i-x_{j+1})$
  第$j+2$工厂的产品需要运到第$i$工厂的仓库，有$p_{j+2}$个产品，运送距离为$x_i-x_{j+2}$，费用为$p_{j+2}(x_i-x_{j+2})$
  。。。
  第$i-1$工厂的产品需要运到第$i$工厂的仓库，有$p_{i-1}$个产品，运送距离为$x_i-x_{i-1}$，费用为$p_{i-1}(x_i-x_{i-1})$
  第$i$工厂的产品需要运到第$i$工厂的仓库，有$p_i$个产品，运送距离为$x_i-x_i$，费用为$p_i(x_i-x_i)$
  将第$j+1$工厂到第$i$工厂的产品运送到第$i$工厂的仓库的总费用为${\sum }_{k=j+1}^i{p}_k(x_i-x_k)={\sum }_{k=j+1}^i{x}_i{p}_k-{\sum }_{k=j+1}^i{x}_k{p}_k$
  $=x_i{\sum }_{k=j+1}^i{p}_k-{\sum }_{k=j+1}^i{x}_k{p}_k$
  设$x_k{p}_k$序列的前缀和为$sxp$，$p$序列的前缀和为$sp$，因此：
  ${\sum }_{k=j+1}^i{p}_k(x_i-x_k)=x_i(s{p}_i-s{p}_j)-(sx{p}_i-sx{p}_j)$
• 在第$i$工厂建仓库需要费用$c_i$。
• 对于$j$的所有取整情况取最小值

综上，考虑将前$i$个工厂的产品都运进仓库，且一定在第$i$工厂建立仓库的最小的方案的费用
d p i = m i n { d p j + x i ( s p i − s p j ) − ( s x p i − s x p j ) + c i } ， 0 ≤ j ≤ i − 1 dp_i=min\{dp_j+x_i(sp_i-sp_j)-(sxp_{i}-sxp_{j})+c_i\}，0\le j \le i-1 dpi​=min{dpj​+xi​(spi​−spj​)−(sxpi​−sxpj​)+ci​}，0≤j≤i−1

接下来进行斜率优化动规，去掉min，将与$j$相关的量视作遍历，与$i$相关的量视作常量，整理方程
$-d{p}_j-sx{p}_j=-x_{i}s{p}_j+x_{i}s{p}_i-d{p}_i-sx{p}_i+c_i$
$d{p}_j+sx{p}_j=x_{i}s{p}_j+d{p}_i+sx{p}_i-x_{i}s{p}_i-c_i$
设$x=s{p}_j$，$y=d{p}_j+sx{p}_j$，$k=x_i$，$b=d{p}_i+sx{p}_i-x_{i}s{p}_i-c_i$
则以上方程就是直线方程$y=kx+b$，对于每个$j$的取值，$(s{p}_j,d{p}_j+sx{p}_j)$是一个决策点，直线的斜率是固定的，看该直线经过哪条决策点时直线的截距$b$最小，此时$d{p}_i$的值就是所求的值。
该题中直线斜率$x_i$随着$i$的增大而增大，可以使用队头出队操作，取队头就是最优决策点。
斜率优化的具体原理和代码细节不再赘述，参考模板题：
信息学奥赛一本通 1607：【 例 2】任务安排 2 | 洛谷 P10979 任务安排 2

最后一个$p_i>0$的工厂为第$m$工厂，所有编号大于$m$的工厂都没有货物。因而最后一个仓库可以建在第$m$到第$n$工厂中的任意一个工厂，看在哪建仓库费用最小。
因此最终结果为 m i n { d p i } ， m ≤ i ≤ n min\{dp_i\}，m\le i \le n min{dpi​}，m≤i≤n

【题解代码】

解法1：斜率优化动规

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 1000005
LL n, m, x[N], p[N], sp[N], sxp[N], c[N], dp[N], ans = 1e18;//dp[i]：考虑将前i个工厂的产品都运进仓库，且一定在第i工厂建立仓库的所有方案中，费用最小的方案的费用。 
int q[N], l = 1, r = 0;//单调队列
LL X(int j)
{
	return sp[j];
} 
LL Y(int j)
{
	return dp[j]+sxp[j];
}
LL K(int i)
{
	return x[i];
}
bool cmp(LL a1, LL b1, LL a2, LL b2)//a1/b1 <= a2/b2
{
	return a1*b2 <= a2*b1; 
} 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
 	cin >> n;
 	for(int i = 1; i <= n; ++i)
 	{
		cin >> x[i] >> p[i] >> c[i];
		sp[i] = sp[i-1]+p[i];
		sxp[i] = sxp[i-1]+x[i]*p[i];
		if(p[i] > 0)
			m = i;//m：记录最后一个有产品的工厂 
	}
 	for(int i = 1; i <= n; ++i)
 	{
 		while(l < r && cmp(Y(i-1)-Y(q[r]), X(i-1)-X(q[r]), Y(q[r])-Y(q[r-1]), X(q[r])-X(q[r-1])))
 			r--;
 		q[++r] = i-1;
 		while(l < r && cmp(Y(q[l+1])-Y(q[l]), X(q[l+1])-X(q[l]), K(i), 1))
 			l++;
 		dp[i] = dp[q[l]]+x[i]*(sp[i]-sp[q[l]])-(sxp[i]-sxp[q[l]])+c[i];
 		if(i >= m)//求dp[m]~dp[n]中的最小值 
 			ans = min(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans;
    return 0;
}