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二分答案 + P8800 [蓝桥杯 2022 国 B] 卡牌 - 题解

news 来源：原创 2025/5/11 5:21:36

题解：卡牌问题

题目传送门：P8800 [蓝桥杯 2022 国 B] 卡牌

一、题目描述

小明有n种卡牌，每种卡牌有a_i张。他可以用m张空白牌制作任意卡牌，但第i种卡牌最多只能制作b_i张。问最多能凑出多少套"完整卡牌"（每套包含每种卡牌各一张）。

二、题目分析

这是一个典型的二分答案问题。我们需要找到最大的套数x，使得我们可以通过使用空白牌，让每种卡牌的数量都至少达到x张，且使用的空白牌总数不超过m张。

三、解题思路

二分搜索：我们可以在可能的套数范围内进行二分搜索，检查某个套数x是否可行。
可行性检查：对于每个候选的x，计算每种卡牌需要补充的数量（x - a_i），但要不超过b_i的限制，且总和不超过m。

四、算法讲解

算法采用二分答案策略：

排序：虽然题目没有明确要求，但将卡牌按现有数量排序可能有助于优化（但原代码中排序实际上不影响最终结果）。
二分框架：在可能的套数范围[0, max_a + m]内进行二分搜索。
检查函数：对于中间值mid，计算将所有卡牌补充到至少mid张所需空白牌数，检查是否满足条件。

以样例为例：

输入：n=4, m=5, a=[1,2,3,4], b=[5,5,5,5]
检查x=3：
- 需要补充：2(1→3),1(2→3),0(3→3),0(4→3)
- 总空白牌使用=3 ≤ 5，且每个补充不超过b_i限制
检查x=4：
- 需要补充：3(1→4),2(2→4),1(3→4),0(4→4)
- 总空白牌使用=6 > 5，不可行
因此最大可行套数是3

五、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5 + 10;
int n, m;
struct node {
    int a, b;
} arr[N];

// 排序函数，按现有卡牌数量升序排列
bool cmp(node c, node d) {
    return c.a < d.a;
}

// 检查是否能凑出x套牌
bool check(int x) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int tem = x - arr[i].a;
        if (tem < 0)  // 现有牌已足够，不需要补充
            continue;
        else if (tem > arr[i].b)  // 需要补充的数量超过b_i限制
            return false;
        else {
            cnt += tem;  // 累加需要的空白牌数量
        }
    }
    return cnt <= m;  // 总空白牌使用量不超过m
}

void solve() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> arr[i].a;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> arr[i].b;
    sort(arr + 1, arr + 1 + n, cmp);  // 按现有数量排序
    
    // 二分查找最大可行套数
    int l = -1, r = 1e6;  // 初始范围设置
    while (l + 1 != r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid;
    }
    cout << l;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}