算法基础_基础算法【高精度 + 前缀和 + 差分 + 双指针】

往期《算法基础》回顾：
算法基础_基础算法【快速排序 + 归并排序 + 二分查找】

---------------高精度---------------

791.高精度加法

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

string a, b;
vector<int> A, B;
vector<int> ret;

vector<int> add(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)//（从前往后遍历）
    {
        if (i < A.size()) t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        ret.push_back(t % 10); //逢十进一
        t /= 10; // 总共可以进几位
    }
    if (t) ret.push_back(1);
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); //（从后往前存储）
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0'); //（从后往前存储）

    ret = add(A, B);
	//注意：从后往前输出数组中的元素时i的初始值为size() - 1
    for (int i = ret.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", ret[i]); //（从后往前输出）
    return 0;
}

代码片段解释

片段一：

if (t) ret.push_back(1);

在代码中，if (t) ret.push_back(1); 这行代码的作用是处理加法运算中最高位的进位。

示例：假设 A = [9, 9]（表示数字 99），B = [1]（表示数字 1）

• 在循环中，逐位相加：
  • 第一位：9 + 1 = 10，ret 添加 0，t = 1（进位）
  • 第二位：9 + 0 = 9，加上进位 1，9 + 1 = 10，ret 添加 0，t = 1（进位）
• 循环结束后，t = 1，表示还有进位，因此 ret 添加 1

最终 ret = [0, 0, 1]，表示数字 100

疑问：为什么要写成这样if (t) ret.push_back(1);写成if (t) ret.push_back(t);这样看上去不是更合理吗？

• 在循环结束后，如果 t 不为 0，那么它一定是 1（因为加法最多只会产生一个进位）

• 从逻辑上讲，if (t) ret.push_back(t); 也是可行的，因为此时 t 的值只可能是 0 或 1

解题思路分析

高精度加法的思路步骤：

第一步：定义一个变量t用于存储当前位的累加和以及处理进位

第二步：使用for循环同时遍历存储加数的这两个数组（从前往后遍历）

• 第三步：使用if条件语句判断是否遍历完加数1的所有位，若没将该位的值加到变量t中

• 第四步：使用if条件语句判断是否遍历完加数2的所有位，若没将该位的值加到变量t中

• 第五步：将变量t除以10的余数（t % 10）添加到结果容器中

• 第六步：将变量t除以10

第七步：使用if条件语句判断变量t是否为0，若不为0则将其值添加到结果容器中（处理最高位）

第八步：返回结果数组

792. 高精度减法

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

string a, b;
vector<int> A, B;
vector<int> ret;

// 判断是否有 A >= B
bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
	if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
	for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)//(从后往前遍历)
	{
		if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i]; //A[i] != B[i]时退出函数
	}
	return true;
}

//高精度减法
vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
	int t = 0;
	for (int i = 0; i < A.size(); i++)//(从前往后遍历)
	{
		t = A[i] - t;
		if (i < B.size()) t -= B[i];
		ret.push_back((t + 10) % 10);
		//t为负数时需要向前借一位当10所以+10，其后的%10对其不会产生影响
		//t为正数时可不需要做任何操作将其添加到数组，但是+10对其有影响，所以%10消去影响

		if (t < 0) t = 1; //当前位产生了借位操作
		else t = 0;
	}
	while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back(); // 去掉前导0
	return ret;
}

int main()
{
	cin >> a >> b;
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');//(从后往前存储)
	for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');

	if (cmp(A, B))
	{
		ret = sub(A, B);
		for (int i = ret.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", ret[i]);//(从后往前输出)
	}
	else
	{
		ret = sub(B, A);
		printf("-");
		for (int i = ret.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", ret[i]);
	}
	return 0;
}

代码片段解释

片段一：

while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back(); // 去掉前导0

这段代码的作用是去掉结果中的前导零

在高精度计算中，前导零是指结果中最高位之前的无效零。

• 例如：计算结果为 00123，实际有效值是 123，前导零 00 是无意义的，需要去掉。

---

• ret.size() > 1

  • 这个条件确保结果至少保留一位数字。

  • 如果结果只有一个数字（例如：[0]），即使它是 0，也不能去掉，因为 0 是一个有效的数字。

• ret.back() == 0

  • ret.back() 获取结果数组的最后一个元素，即当前最高位的数字。

  • 如果最高位是 0，说明这是一个前导零，需要去掉。

• ret.pop_back()

  • 这个操作将结果数组的最后一个元素（即：当前最高位）移除。

  • 通过循环不断移除前导零，直到最高位不是 0 或者结果只剩一位。

解题思路分析

高精度减法的思路步骤：

第一步：定义一个变量t用于处理借位以及临时存储当前位的计算结果

第二步：使用for循环同时遍历存储加数的这两个数组（从前往后遍历）

• 第三步：使用减数1的值减去存储借位的变量t，同时将结果赋给t

• 第四步：使用if条件语句判断是否遍历完减数2的所有位，若没有则使用临时存储当前位的计算结果的变量t减去该位的值

• 第五步：将变量t+10后的值除以10的余数（(t + 10) % 10）添加到结果容器中

• 第六步：使用if分支语句判断t是否为负值 ，负值将其置为1否则为0

第七步：使用while循环不断的将结果数组中末尾（高位）的0移除

第八步：返回结果数组

高精度加法与高精度减法的不同之处有以下几点：

1. 使用for循环遍历数组的结束条件不同：
   • 高精度加法：for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++)
   • 高精度减法：for (int i = 0; i < A.size(); i++)
2. 变量t的使用机制不同：
   • 高精度加法：if (i < A.size()) t += A[i]; if (i < B.size()) t += B[i];
   • 高精度减法：t = A[i] - t; if (i < B.size()) t -= B[i];
3. 向结果容器中添加的元素的处理不同：
   • 高精度加法：ret.push_back(t % 10); //逢十进一
   • 高精度减法：ret.push_back((t + 10) % 10); //借一当十
4. 变量t的更新操作不同
   • 高精度加法：t /= 10;
   • 高精度减法：if (t < 0) t = 1; else t = 0;
5. 最后遇到的问题不同
   • 高精度加法：if (t) ret.push_back(1); //处理最高位的进位
   • 高精度减法：while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back(); // 去掉前导零

793.高精度乘法

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

string a;
long long b; //相对于乘数1，乘数2的值相对小一点，long long 类型足以容纳

vector<int> A;
vector<int> B;
vector<int> ret;

vector<int> mul(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)//(从前往后遍历)
    {
        t = (A[i] * b) + t;
        ret.push_back(t % 10);

        t = t / 10;// 进位的大小t
    }

    if (t) ret.push_back(t);
    while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back();
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;

    //用数组存储乘数的每位数字
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); //（从后往前存储）

    //处理数据：
    ret = mul(A, B);

    //输出数据：
    for (int i = ret.size() - 1; i >= 0; i--) cout << ret[i];//（从后往前输出）

    return 0;
}

794.高精度除法

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

string a;
int b;
vector<int> A;
vector<int> ret;

// A / b，商是C，余数是r
vector<int> div(vector<int>& A, int b, int& t)
{
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)//(从后往前遍历)
    {
        t = t * 10 + A[i];
        ret.push_back(t / b);

        t %= b;
    }
    reverse(ret.begin(), ret.end()); //数组前面存储的高位，被反转为存储的低位（方便消去前导零）
    while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back();

    return ret;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');//(从后往前存储)

    int t;
    ret = div(A, b, t);

    for (int i = ret.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", ret[i]);//(从后往前输出)
    cout << endl << t << endl;

    return 0;
}

解题思路分析

高精度除法的思路步骤：

第一步：定义一个变量t用于存储当前的余数

第二步：使用for循环同时遍历存储加数的这两个数组（从后往前遍历：先处理高位）

• 第三步：变量t乘10再加上当前除数1的值，同时将结果赋给t

• 第四步：将变量t的值除以除数2的商添加到结果数组中

• 第五步：用变量t的值除以除数2的余数更新变量t

第六步：对结果数组中的所有元素进行反转

第七步：使用while循环不断的将结果数组中末尾（高位）的0移除

第八步：返回结果数组

高精度乘法与高精度除法的不同之处有以下几点：

1. 使用for循环遍历数组的方向不同：
   • 高精度乘法：for (int i = 0; i < A.size(); i++)//(从前往后遍历)
   • 高精度除法：for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)//(从后往前遍历)
2. 变量t的使用机制不同：
   • 高精度乘法：t = (A[i] * b) + t;
   • 高精度除法：t = t * 10 + A[i];
3. 向结果容器中添加的元素的处理不同：
   • 高精度乘法：ret.push_back(t % 10);
   • 高精度除法：ret.push_back(t / b);
4. 变量t的更新操作不同：
   • 高精度乘法： t = t / 10;
   • 高精度除法：t %= b;
5. 处理最高位的进位不同：
   • 高精度乘法： if (t) ret.push_back(t);
   • 高精度除法：不需要处理
6. 消去前导零的方式不同：
   • 高精度乘法： while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back();
   • 高精度除法：reverse(ret.begin(), ret.end()); while (ret.size() > 1 && ret.back() == 0) ret.pop_back()

---------------前缀和---------------

795.前缀和

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int n, m;
int a[N], s[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    //构造前缀和数组s  （原数组和前缀和数组都从下标1处开始存放元素，应为我们要预留s0为0）
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    while (m--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }

    return 0;
}

解题思路分析

如何 去求 一个一维矩阵的前缀和？（假如说数组s是某一维数组的前缀和数组）

s[i] = s[i - 1] + a[i];

如何 使用 一个一维矩阵的前缀和？（假如说我们要求得某一维数组中区间为[l,r]之间的元素之和）

结果 = s[r] - s[l - 1]

796.子矩阵的和

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);

	// 初始化前缀和数组
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

	// 询问
	while (q--)
	{
		int x1, y1, x2, y2;
		scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
		printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);//使用前缀和数组
	}

	return 0;
}

解题思路分析

如何 去求 一个二维矩阵的前缀和？（假如说数组s是某二维数组的前缀和数组）

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

如何 使用 一个二维矩阵的前缀和？（假如说我们要求得某二维数组中下标为[x1,y1]到 [x2,y2]之间的矩阵的元素之和）

结果 = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

---------------差分---------------

797.差分

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
	b[l] += c;
	b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); // 原数组a的赋值
	for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]); // 通过原数组a为差分数组b进行赋值

	while (m--)
	{
		int l, r, c;
		scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
		insert(l, r, c);
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		a[i] = a[i - 1] + b[i];
		printf("%d ", a[i]);
	}

	return 0;
}

代码片段解释

片段一：

for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);

这段代码中的 for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]); 的作用是初始化差分数组 b （差分数组 b 是原数组 a 的差分表示）

---

差分数组的特点是：

• b[i] = a[i] - a[i - 1]（对于 i > 1）
• b[1] = a[1]（因为 a[0] 不存在，默认为 0）

通过差分数组，我们可以 高效地对原数组的某个区间进行批量加减操作

• 如果要对原数组 a 的区间 [l, r] 中的每个元素加上 c，只需要：
  • b[l] += c
  • b[r + 1] -= c
• 最后通过前缀和运算（b[i] += b[i - 1]）还原出更新后的原数组

---

for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]); 的作用：将原数组 a 转换为差分数组 b

具体过程：

1. 初始时，差分数组 b 的所有元素都是 0
2. 对于每个 i（从 1 到 n），执行 insert(i, i, a[i])：
   • b[i] += a[i]：将 a[i] 的值赋给 b[i]
   • b[i + 1] -= a[i]：将 a[i] 的值从 b[i + 1] 中减去
3. 最终，差分数组 b 的值满足：
   • b[1] = a[1]
   • b[i] = a[i] - a[i - 1]（对于 i > 1）

---

示例：假设原数组 a 为：a = [0, 1, 2, 3, 4]（注意：a[0] 不存在，默认为 0）

执行 for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]); 后，差分数组 b 为：

b = [0, 1, 1, 1, 1, -4]

解释：

• b[1] = a[1] = 1
• b[2] = a[2] - a[1] = 2 - 1 = 1
• b[3] = a[3] - a[2] = 3 - 2 = 1
• b[4] = a[4] - a[3] = 4 - 3 = 1
• b[5] = -a[4] = -4（因为 b[5] -= a[4]）

片段二：

insert(l, r, c);

在这段代码中，insert(l, r, c); 的作用是对差分数组 b 进行区间更新，从而高效地对原数组 a 的某个区间 [l, r] 中的所有元素加上一个常数 c

---

insert(l, r, c) 的作用：对差分数组 b 进行区间更新，表示对原数组 a 的区间 [l, r] 中的每个元素加上 c

//insert 函数的定义是：
void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

1. b[l] += c：

   • 表示从位置 l 开始，每个元素都加上 c
   • 这是因为差分数组 b 的前缀和会累加 b[l]，从而影响从 l 开始的所有元素。

2. b[r + 1] -= c：

   • 表示从位置 r + 1 开始，每个元素都减去 c
   • 这是为了抵消 b[l] += c 的影响，确保只有区间 [l, r] 中的元素被更新。

---

示例：区间更新

假设原数组 a 为：

a = [1, 2, 3, 4, 5]

对应的差分数组 b 为：

b = [1, 1, 1, 1, 1]

（因为 b[i] = a[i] - a[i - 1]）

现在，我们希望对区间 [2, 4] 中的每个元素加上 2。调用 insert(2, 4, 2) 后：

• b[2] += 2，b 变为 [1, 3, 1, 1, 1]。
• b[5] -= 2，b 变为 [1, 3, 1, 1, -1]。

最后，通过前缀和运算还原出更新后的原数组：

a[1] = b[1] = 1
a[2] = b[1] + b[2] = 1 + 3 = 4
a[3] = b[1] + b[2] + b[3] = 1 + 3 + 1 = 5
a[4] = b[1] + b[2] + b[3] + b[4] = 1 + 3 + 1 + 1 = 6
a[5] = b[1] + b[2] + b[3] + b[4] + b[5] = 1 + 3 + 1 + 1 - 1 = 5

更新后的原数组 a 为：

a = [1, 4, 5, 6, 5]

可以看到，区间 [2, 4] 中的每个元素都加上了 2

解题思路分析

构造一维差分数组的核心：

void insert(int l, int r, int c)
{
	b[l] += c;
	b[r + 1] -= c;
}

第一步：使用for循环通过一维原数组为一维差分数组赋值

第二步：使用while循环将某个子区间中的元素都加上c

第三步：使用for循环通过一维差分数组还原出一维原数组

798.差分矩阵

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
            printf("%d ", a[i][j]);
        }
        puts("");
    }

    return 0;
}

解题思路分析

构造二维差分数组的核心：

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

第一步：使用双重for循环通过二维原数组为二维差分数组赋值

第二步：使用while循环将某个子矩阵中的元素都加上c

第三步：使用双重for循环通过二维差分数组还原出二维原数组

---------------双指针---------------

799.最长连续不重复子序列

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], s[N];
int res = 0;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    
    for (int i = 0, j = 0; i < n; i++)
    {
        s[a[i]]++;
        while (s[a[i]] > 1)
        {
            s[a[j]]--;
            j++;
        }
        res = max(res, i - j + 1);
    }

    cout << res << endl;
    return 0;
}

解题思路分析

双指针的使用思路和步骤：

第一步：使用for循环经典的开头for (int i = 0, j = 0; i < n; i++)

第二步：根据题目的要求进行不同的操作

第三步：使用while循环书写满足条件时的重复行为

第四步：统计结果

800.数组元素的目标和

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m, x;
int a[N], b[N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &b[i]);

    for (int i = 0, j = m - 1; i < n; i++)
    {
        while (j >= 0 && a[i] + b[j] > x) j--;
        if (a[i] + b[j] == x)
        {
            printf("%d %d\n", i, j);
            break;
        }
    }
    return 0;
}

2816.判断子序列

题目介绍

方法一：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &b[i]);

    int i = 0, j = 0;
    while (i < n && j < m)
    {
        if (a[i] == b[j]) i++;
        j++;
    }

    if (i == n) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}