蓝桥杯专项复习——二分查找、二分答案
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二分查找、二分答案基础知识
二分查找模版
【模版题】数的范围
借教室
二分查找、二分答案基础知识
二分模版
二分查找
【模版题】数的范围
输入样例
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例
3 4
5 5
-1 -1思路：
对应两个模版，起始位置是对应第一个模版，即后面的都符合
终止位置对应第二个模拟，即前面的符合
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=100000+10;
int a[N];
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,q;cin>>n>>q;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
while(q--)
{
int x;cin>>x;
int l=0,r=n-1;
while(l<r)//查找起始位置，右边符合
{
int mid=(l+r)/2;
if(a[mid]>=x)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
if(a[l]!=x)//不存在
cout<<"-1 -1"<<endl;
else//查找终止位置
{
cout<<l<<' ';//将起始位置输出
l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)/2;
if(a[mid]<=x)
l=mid;
else
r=mid-1;
}
//不用再判断是否存在
//输出终止位置
cout<<l<<endl;
}
}
return 0;
} 借教室
输入样例1
4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4输出样例1
2说明1
第一份订单满足后，这四天剩余的教室数为{0，3，2，3}
第二份订单要求第二天到第四天每天提供3个教室，而第三天剩余的教室数为 2，
因此无法满足。分配停止，通知第二个申请人修改订单。输入样例2
4 1
2 5 4 3
2 1 3输出样例2
0思路：
遍历订单，再对所遍历到的订单从第一个1开始进行判断。
如果直接枚举每一个订单是O(n)，再判断又是O(n)，时间复杂度就会是O(n^2)，会超时，需要优化。
优化：
二分和差分的结合
即通过二分来搜索不符合的点，使用差分实现check函数的判断为什么使用二分：要求找到不符合的订单是搜索，并且如果前面的订单不满足后面的订单就直接取消，具有二段性，可以使用二分法，时间复杂度变为nlogn
为什么使用差分：一段时间其实就可以看做是一段区间，对于每个教室的申请，其实就是区间修改，完全符合差分条件
满足的条件是申请教室小于空闲教室，模版1符合
本题重点其实还是差分，二分只是优化了时间复杂的，实际的判断功能是通过差分实现。
表示是否全部分配完的方案：即特判
令r=m+1，表示有m个订单，当退出循环时l=m+1表示所有m个订单都可分配教室，就输出0；如果r=m，结束当l=m时不清楚第m个订单是否分配到
#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1000000+10;
int n,m;
int a[N],b[N];
int c[N],l[N],r[N];
bool check(int x)
{
//对每次的订单都是从1开始到x，且内容都可以实现更新
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=a[i]-a[i-1];//构建a的差分数组
//实现对a数组的特定范围都减去c
for(int i=1;i<=x;i++)//对第1~x个订单进行操作
{
b[l[i]]-=c[i];
b[r[i]+1]+=c[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
b[i]+=b[i-1];//将差分数累加，其实是a[i]
if(b[i]<0)//如果a[i]<0相当于教室数不足
return true;
}
return false;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i]; //每天可借的订单数
for(int i=1;i<=m;i++)
//订单数据 ，这里先导入是为了后面使用差分对订单进行判断
cin>>c[i]>>l[i]>>r[i];
//题目是要求找到不符合的订单而且订单具有二段性
//最快的方法是使用二分进行查找
int l=1,r=m+1;//对订单进行遍历
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
//判断第1~第mid个订单是否符合题意
//这里是将申请教室小于空闲教室作为答案
//即左边为所符合的答案，使用模版1
if(check(mid)) //当教室不足时为true，r=mid即将该订单舍去，遍历前面的订单
r=mid;
else //当1~mid订单符合时左范围增大，使得查询订单数向后挪
//当所有都符合时l==r==m+1
l=mid+1;
} //结束条件是l==r
if(l==m+1)
cout<<'0'<<endl;
else
cout<<r<<endl;
return 0;
} 二分答案
P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树
思路：
由题意可知，只要所定高度h足够小，都能砍到所需的木材，所以是要在所有较小数中寻找到一个最大数，这里可以看出具有二分性质，可用二分进行查找，并且此时符合模版2（左边较小的数都符合）
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1000000+10;
int n,m;
int h[N];
int l,r;
int tmp;
bool check(int x)
{
int sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
sum+=max(tmp,h[i]-x);//这里需要使用max函数，因为当树的高度小于所定高度时会是负数
return sum>=m;// 集合模版图，左边x小的都是成立，找一个最大的较小数
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>h[i];
l=0,r=1e10;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)/2;
if(check(mid))
l=mid;
else
r=mid-1;
}
cout<<l<<endl;
return 0;
} P3743 小鸟的设备
具有二段性，即小于等于答案的秒数都满足，所有大于秒数都不满足，所以使用二分，但是当类型是double（因为我们这里是对时间进行二分，且题目有精度要求）时不再区分模版1还是模版2，而且在二分判断循环中，if函数后面是l或者r都不影响
思路：
先特判输出-1的情况：如果充电速率大于消耗的速率，一定可以无限使用
如何判断时间是否符合：（check函数内容）
只要判断mid时间可以使用多少时间，即mid时间内产生的能量和它本身具有的能量是否大于消耗的能量，当产生的能量大于等于消耗的能量，更新l
对于精度：
<=1^4表示精度有4位即可，大于1e-5时精度有5位，完全满足题目要求
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=100000+10;
int n;
double p;
int a[N],b[N];
bool check(double x)
{
double power=p*x;//x时间内产生的能量
double sum=0;//x时间内消耗的能量
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(a[i]*x>b[i])//如果消耗量大于之前存的能量
sum+=a[i]*x-b[i];
}
return power>=sum;//当产生的能量大于等于其消耗能量时更新l
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>p;
double sum=0.0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i]>>b[i];
sum+=a[i];
}
if(p>=sum)//特判，此时能无限使用
{
cout<<"-1"<<endl;
return 0;
}
double l=0,r=1e10;//二分查找，初始化范围
while(r-l>=1e-5)//确保输出精度
{
double mid=(l+r)/2.0;
if(check(mid))
l=mid;
else
r=mid;
}
cout<<l<<endl;
return 0;
}