关于希尔伯特变换小记

讲解希尔伯特变换（Hilbert Transform）

1. 希尔伯特变换的定义

希尔伯特变换（Hilbert Transform, HT）是一种信号处理技术，它通过 移相 操作将实信号转换为 解析信号，从而用于分析信号的 瞬时幅值、瞬时相位和瞬时频率。

对于一个 实信号 $x(t)$，它的希尔伯特变换 H { x ( t ) } \mathcal{H}\{x(t)\} H{x(t)} 定义为：

x ^ ( t ) = H { x ( t ) } = 1 π P.V. ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) t − τ d τ \hat{x}(t) = \mathcal{H}\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \text{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau x^(t)=H{x(t)}=π1​P.V.∫−∞+∞​t−τx(τ)​dτ

其中：

• P.V.（Cauchy 主值积分）用于避免奇点 $t=\tau$ 处的发散问题。
• 希尔伯特变换的作用：它对 信号的所有正频率分量引入 $-90^{\circ }$ 的相移，对负频率分量引入 $+90^{\circ }$ 的相移，而信号的幅值保持不变。

2. 解析信号与瞬时属性

2.1 解析信号（Analytic Signal）

解析信号 $z(t)$ 是由原始信号 $x(t)$ 和其希尔伯特变换 $\hat{x}(t)$ 构成的复信号：

$$z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$$

解析信号的极坐标形式：

$$z(t)=A(t)e^{j\varphi (t)}$$

其中：

• 瞬时幅值（Envelope, 包络）：$A(t)$
  $$A(t)=|z(t)|=\sqrt{x^2(t)+{\hat{x}}^2(t)}$$
  代表信号在不同时间点的 瞬时能量分布。

• 瞬时相位（Instantaneous Phase）：$\varphi (t)$
  $$\varphi (t)=\arg (z(t))={\tan }^{-1}\left(\frac{\hat{x}(t)}{x(t)}\right)$$
  代表信号在不同时间点的 瞬时相位。

• 瞬时频率（Instantaneous Frequency）：$\omega (t)$
  $$\omega (t)=\frac{d\varphi (t)}{dt}$$
  代表信号的 瞬时频率变化。

3. 希尔伯特变换的频域特性

希尔伯特变换的核心是 对频谱的相移。

设信号 $x(t)$ 的傅立叶变换为：

X ( f ) = F { x ( t ) } X(f) = \mathcal{F}\{x(t)\} X(f)=F{x(t)}

则其希尔伯特变换的傅立叶变换为：

F { x ^ ( t ) } = − j ⋅ sgn ( f ) X ( f ) \mathcal{F} \{\hat{x}(t)\} = -j \cdot \text{sgn}(f) X(f) F{x^(t)}=−j⋅sgn(f)X(f)

其中：

$$\text{sgn}(f)=\{\begin{array}{ll}+1,& f>0\\ 0,& f=0\\ -1,& f<0\end{array}$$

4. 希尔伯特变换的应用

• 信号包络检测（用于振动分析、故障检测）
• 调制信号分析（提取 AM 信号的包络）
• 瞬时频率分析（语音、心率变异性分析）
• 时频分析（希尔伯特-黄变换 HHT）

5. Python 实现希尔伯特变换

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert

fs = 1000  # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
carrier = np.cos(2 * np.pi * 10 * t)  # 10 Hz 载波
modulation = 1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 1 * t)  # 1Hz 低频调制
signal = modulation * carrier  # AM 调制信号

analytic_signal = hilbert(signal)
amplitude_envelope = np.abs(analytic_signal)  # 瞬时幅值
instantaneous_phase = np.unwrap(np.angle(analytic_signal))  # 瞬时相位
instantaneous_frequency = np.diff(instantaneous_phase) * fs / (2.0 * np.pi)  # 瞬时频率

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(t, signal, label="Original Signal")
plt.plot(t, amplitude_envelope, label="Envelope", linestyle="dashed")
plt.legend()
plt.title("Signal and Envelope")

plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(t, instantaneous_phase, label="Instantaneous Phase", color="g")
plt.legend()
plt.title("Instantaneous Phase")

plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(t[:-1], instantaneous_frequency, label="Instantaneous Frequency", color="r")
plt.legend()
plt.title("Instantaneous Frequency")

plt.tight_layout()
plt.show()

6. 结论

• 希尔伯特变换是一种 相移变换，构造解析信号以提取瞬时信息。
• 可用于 包络检测、调制分析、瞬时频率计算和时频分析。
• 在 语音、通信、振动分析、生物医学信号处理 等领域有广泛应用。