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整数二分·二分的思想与模板·经典二分题：数的范围

news 来源：原创 2025/6/16 13:39:20

单值查找，更适用于有单调性的区间，没单调性的区间，也有可能能用

二分的思想

一.确定一个区间，使得目标一定在区间中（目标一定是单值）

二.找一个性质，满足两点

1.性质具有二段性区间上每个数都可以判断是否满足这个性质，满足下列条件

2.答案，是二段性的分届点（百分之95满足这个条件）

整数二分

求第一段最后一个结果，用l=mid,r=mid-1;

求第二段第一个结果，用r=mid,l=mid+1;

活动 - AcWing

整数二分理论性质

20230210_151052.mp4

定义判断条件时注意，判断条件为真时，答案一定在该区间内，或者说，区间内一定要包含答案

模版1

	while(l<r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(判断条件)r=mid;//要求，判断条件为真时，答案一定在该区间内，区间内一定要包含此答案
            else l=mid+1;
        }
// 我们最终要找的边界是一个性质在右半区符合，在左半区不符合的性质。
//我们要找符合的右半区的左边界点。管中窥豹的判断check（mid）
//如果mid符合条件Mid是在右半区符合性质的半区中。要找左边界点的范围则更新为r = mid（包含Mid）。
//如果mid不符合条件，我们要找符合性质的左端点则l = mid + 1（已经确定mid是不符合的就从mid+1开始算）

模版2

判断条件为l=mid时，l+r+1

 while(l<r){
                int mid=(l+r)+1>>1;
                if(判断条件)l=mid;
                else r=mid-1;
        }
//+1是因为，如果l=r-1的时候，不加1会导致重复死循环
//例如下面，假如l=1,r=2,判断条件成立，会发生什么
				int mid=(l+r)>>1;//1+2除以2等于1.5,int类型向下取整,mid等于1
                if(判断条件)l=mid;//判断条件成立，l=mid,则l=1，初始状态l也=1,陷入无限循环
                else r=mid-1;

数的范围，这题不错，用到两个模板，下面是解答代码，题目acwing，洛谷都有。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int arr[100010];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>arr[i];
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int o;
        cin>>o;
        int l=0,r=n-1;
        while(l<r)
        {
            int mid=(r+l)/2;
            //把这个数组划分成了两段性质，一段小于o,一段大于等于o
            //我们要求的是第二段第一个
            //>=o,mid符合条件，可能是第二段第一个,也可能不是
            //因为o现在可能是mid本身或者mid左边的数，所以只需要移动r,r=mid
            if(arr[mid]>=o)r=mid;//判断条件，为真时，一定要包含答案
            else l=mid+1;
            //这里是表示mid<o,则答案一定在mid右侧，且一定不是mid本身，因为区间1里没有o
            //在mid右侧，把l移过来，因为答案不在原来的l到mid的区间，所以再右移1
            //变成区间mid+1到r，答案在这个区间内
        }
        
        if(arr[r]==o)
        {
            cout<<r<<' '; 
            l=r;//在这个区间内是有单调性的
            r=n-1;
            while(l<r) 
            {
               int mid=(r+l)+1>>1;
                //因为写的是l=mid,所以r+l+1
               if(arr[mid]<=o)//这里把等于永远写在第一个判断里，才能符合更新理论性质，不用加减
                l=mid;//这里是l，所以（r+L)+1再除以2
               else r=mid-1;
            //因为等于情况在上面，下面判断条件r或者l本身肯定不等于所找点，r向左移，l向右移
            }
            cout<<r<<endl;
        }
        else
        cout<<"-1 -1"<<endl;
    }
    return 0;
}

整数二分一直找到中间唯一一个数，而实数二分不同

实数二分

实数二分是一直找到足够小的某个数

例如

while(l<r)//这是整数二分判断条件，其实也可以看成
while(l!=r)//当l=r时候，就只剩下一个整数，结果就是ans(答案）
//但如果是实数二分，这里我们这么写
while(r-l>1e-6)

注意，题目主有要求取到第几位小数，我们要多取至少两位，保证精度

例如

题目要求取小数点后6位，我们的循环写成

while(r-l>1e-8)

while(r-l>1e-8)

很重要！！

二分适合求最大最小

经典题目

AcWing - 算法基础课

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
double l,n,r;
int main(){
    cin>>n;
    l=-10000,r=10000;
    while(r-l>1e-8){
        double mid=(r+l)/2;
        if(mid*mid*mid>=n)r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.6lf",r);
    return 0;
}