【数论3】裴属定理与扩展欧几里得算法

前言

来咯来咯，今天的数论部分来了，今天比较水啊，因为课实在是比较多。

今天的数论部分是讲裴属定理和扩展欧几里得算法，当然还有今天的题目（两道树状数组 + 一道连通块的问题）我放到下一篇了。

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裴属定理

第一次听到这个定理的时候感觉压力好大，这个名字一看就知道不简单，但是学了之后才发现还挺简单的。

这个裴属定理主要是为了引出后面的扩展欧几里得算法的，所以大家有个印象就好了，不必较真。

话归正题，什么是裴属定理？

裴属定理是这样的，对于任意的整数a和b，必定存在一组整数x，y，使得：

a * x + b * y = gcd(a, b)

老样子，先证明。

我们先证明必定存在一对x，y（不一定是整数），使得a * x + b * y = gcd(a, b)

首先设d = gcd(a, b)，那么d是a的约数，d也是b的约数。

随后依据算数基本定理将d和a与b展开，可以发现d是包含在a和b中的，显然存在一组x, y使得

a * x + b * y = gcd(a, b)。

那么如何证明x, y均为整数呢？这个主播是不会的哈，但是主播知道怎么求出x和y。使用扩展欧几里得算法！

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欧几里得算法

在推导扩展欧几里得算法之前呢。我们先来复习一下欧几里得算法。

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代码

int gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

代码很简单对吧，当然思路也很简单，具体推导过程我就不讲了，感兴趣的小伙伴可以去看我前面的博客（数论2）。

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扩展欧几里得算法

随后我们来推导扩展欧几里得算法。

首先来分析当b = 0时，x和y的值，设x * a + y * b = a，显然：x = 1，y = 任意值，这也就代表着我们要求的x,y可能不止一对，为了方便讨论我们设y = 0 啊。

随后我们来分析b不为0的情况。

因为是递归，所以我们假设已知b * y + (a % b)x = gcd(b, a % b)中的x和y。

我们知道：

a % b = a - [a/b] * b

设a % b = r

r = a - [a/b] * b

将r代入上式可得：

b * y + (a - [a/b] * b) * x = gcd(b, a % b)

随后我们提出b可得

b * (y - [a/b] * x) + a * x = gcd(b, a % b)

到此我们就得出来了x和y的递推公式，是不是很简单？

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代码

int gcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}