[动规21] 乘积最大子数组 #medium

目录

1. 题意

2. 思路

2.1. 状态表示

2.2. 状态转移方程

2.3. 初始化

2.4. 填表顺序

2.5. 返回值

3. 编码

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1. 题意

链接: 152. 乘积最大子数组 - 力扣（LeetCode）

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续 子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

提示:

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 的任何子数组的乘积都 保证 是一个 32-位 整数

子数组:

2. 思路

2.1. 状态表示

f[i]: 以 i 位置为结尾, 所有子数组中的最大乘积.

g[i]: 以 i 位置为结尾, 所有子数组中的最小乘积.

2.2. 状态转移方程

要分析状态转移方程, 我们先聚焦于一个 dp[i] 位置来进行分析:

整体可以分为两类:

• 长度 == 1
• 长度 > 1

所以, 我们的

• f[i] = max(nums[i], nums[i] > 0 ? nums[i] * f[i-1] : nums[i] * g[i-1]).
• g[i] = min(nums[i], nums[i] > 0 ? nums[i] * g[i-1] : nums[i] * f[i-1]).

2.3. 初始化

因为我们的 dp[i] 依赖 dp[i-1], 因此我们需要初始化 dp[0], 下面提供两种思路:

方式 1: 初始化 f[0] = g[0] = nums[0]

方式 2: 添加虚拟节点, f[0] = g[0] = 1;// 虚拟节点 -> 不过需要注意下标的映射关系.

2.4. 填表顺序

• 从左到右(这是状态转移方程所决定的).
• f[i] 与 g[i] 同时填写.

2.5. 返回值

返回以 i 位置为结尾的子数组的最大乘积.

3. 编码

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>

class Solution {
public:
    int maxProduct(std::vector<int>& nums) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回结果
        int n = nums.size();
        std::vector<int> f(n + 1), g(n + 1);
        f[0] = g[0] = 1;

        int ret = INT_MIN;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = nums[i - 1];
            int y = f[i - 1] * nums[i - 1];
            int z = g[i - 1] * nums[i - 1];
            f[i] = std::max(x, std::max(y, z));
            g[i] = std::min(x, std::min(y, z));
            ret = std::max(ret, f[i]);
        }
        return ret;
    }
};

注意点:

1. 略.