1.2 斐波那契数列模型：LeetCode 面试题 08.01. 三步问题

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动态规划解三步问题：LeetCode 面试题 08.01. 三步问题

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1. 题目链接

LeetCode 面试题 08.01. 三步问题
题目要求：小孩上楼梯，每次可以走1、2或3步，计算到达第 n 阶台阶的不同方式数，结果需对 1e9 + 7 取模。

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2. 题目描述

• 输入：整数 n，表示台阶数。
• 输出：不同的方式数（模 1e9 + 7）。
• 约束条件：
  • 1 ≤ n ≤ 1e6
  • 结果可能超过 2^31 - 1，需取模处理。

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3. 示例分析

示例 1：
输入：n = 3
输出：4
解释：方式为 1+1+1, 1+2, 2+1, 3。

示例 2：
输入：n = 4
输出：7
解释：新增方式如 1+3, 2+2, 3+1, 1+1+2 等。

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4. 算法思路

动态规划递推

1. 状态定义：
   • dp[i] 表示到达第 i 阶的方式数。
2. 递推公式：
   • dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]。
   • 每次可从前3个台阶走1、2或3步到达当前台阶。
3. 初始条件：
   • dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4。

空间优化

• 直接使用数组存储所有状态，空间复杂度为 O(n)。
• 可优化为滚动变量（见注意事项）。

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5. 边界条件与注意事项

1. 边界处理：
   • n < 4 时直接返回初始值。
2. 取模运算：
   • 每次更新状态后需立即取模，防止溢出。

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6. 代码实现与解析

class Solution {
public:
    const int MOD = 1e9 + 7;
    int waysToStep(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        if (n == 3) return 4;

        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 4;
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            // 使用 long 避免中间结果溢出
            dp[i] = ( (long)dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] ) % MOD;
        }
        return dp[n];
    }
};

代码解析

1. 初始化处理：
   • 直接处理 n ≤ 3 的边界情况，返回初始值。
2. 动态规划数组：
   • dp[i] 存储到达第 i 阶的方式数，初始化前3项。
3. 递推计算：
   • 循环从 i = 4 开始，递推公式使用 long 类型防止溢出。
   • 每次计算后立即取模，确保结果合法。
4. 返回值：
   • dp[n] 即为最终结果。

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优化

1. 滚动变量优化：
   • 仅保留前3个状态，空间复杂度降至 O(1)。

   int waysToStep(int n) {
       if (n == 1) return 1;
       if (n == 2) return 2;
       if (n == 3) return 4;
       int a = 1, b = 2, c = 4, d;
       for (int i = 4; i <= n; i++) {
           d = ( (long)a + b + c ) % MOD;
           a = b;
           b = c;
           c = d;
       }
       return c;
   }
   

2. 统一取模逻辑：
   • 所有中间操作统一用 long 类型，避免隐式溢出。

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总结

通过动态规划递推解决三步问题，关键点在于状态转移和取模处理。代码使用 long 类型确保大数计算正确性，适用于 n ≤ 1e6 的场景。此方法可推广至类似递推问题（如泰波那契数），需注意数值溢出和空间优化。