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1. 计算机运算的基本概念
计算机的运算由 算术逻辑单元（ALU） 执行，其核心功能是完成 算术运算 和 逻辑运算。所有运算均基于二进制编码，通过硬件电路实现高速计算。
- 运算对象：二进制数（定点数、浮点数）、逻辑值（0/1）。
- 运算控制：由控制器（CU）解析指令，生成控制信号驱动ALU操作。
2. 算术运算
(1) 定点数运算
- 加法：
- 通过 全加器电路 逐位计算，考虑进位传递（如行波进位加法器、超前进位加法器）。
- 补码表示：统一加减法为加法运算（减法转换为加负数补码）。
- 减法：通过补码转换为加法（如 (A - B = A + (-B)_{补码})）。
- 乘法：
- 原码乘法：符号位单独处理，数值部分通过移位相加实现（如手算乘法模拟）。
- 补码乘法（Booth算法）：优化有符号数乘法，减少运算步骤。
- 除法：
- 恢复余数法：通过试商、减除数、调整余数循环操作。
- 不恢复余数法（加减交替法）：效率更高，现代计算机普遍采用。
(2) 浮点数运算
- 表示格式：遵循 IEEE 754标准（单精度32位：1位符号+8位阶码+23位尾数）。
- 运算步骤：
- 对阶：对齐两数的阶码（小阶向大阶对齐）。
- 尾数运算：执行加减乘除。
- 规格化：调整尾数和阶码，确保最高有效位为1。
- 舍入处理：就近舍入、截断舍入等。
- 溢出判断：检查阶码是否超出表示范围。
3. 逻辑运算
- 基本逻辑运算：
- 与（AND）：全1则1，否则0（如屏蔽特定位）。
- 或（OR）：有1则1（如置位特定位）。
- 非（NOT）：取反。
- 异或（XOR）：不同为1，相同为0（如交换两数无需临时变量）。
- 组合运算：与非（NAND）、或非（NOR）等，由基本门电路组合实现。
- 应用场景：
- 条件判断（如CPU标志寄存器中的零标志、进位标志）。
- 数据加密（位级异或操作）。
- 图形处理（像素混合逻辑运算）。
4. 运算器的硬件实现
(1) ALU核心组件
- 加法器：实现算术运算的基础模块。
- 移位器：支持逻辑移位（补0）和算术移位（保留符号位）。
- 多路选择器（MUX）：选择不同运算结果输出。
(2) 数据通路
- 输入输出：通过数据总线接收操作数，输出运算结果至寄存器或存储器。
- 标志寄存器：记录运算状态（如溢出、进位、零结果）。
5. 运算的优化技术
(1) 并行计算
- 位级并行：全加器中多进位链同时计算（如超前进位加法器）。
- 指令级并行：流水线技术提升指令吞吐量（如五级流水线）。
- 数据级并行：SIMD（单指令多数据）加速向量运算（如AVX指令集）。
(2) 硬件加速
- 专用运算单元：
- 乘法器：阵列乘法器、华莱士树优化。
- 浮点运算单元（FPU）：独立于ALU，加速科学计算。
- 协处理器：如GPU用于并行矩阵运算（如深度学习训练）。
6. 运算中的关键问题
- 溢出处理：
- 定点数溢出：符号位异常改变（如正+正=负）。
- 浮点数溢出：阶码超出表示范围（上溢/下溢）。
- 精度损失：
- 浮点数尾数截断导致舍入误差（如0.1在二进制中无法精确表示）。
- 延迟与功耗：
- 复杂运算（如除法）需多时钟周期完成，高频率运算增加功耗。
7. 应用场景
- 科学计算：浮点运算模拟气候模型、核物理反应。
- 图形渲染：GPU并行计算顶点变换、光照模型。
- 密码学：模幂运算（RSA）、位操作（AES加密）。
- 人工智能：张量运算（如神经网络前向传播）。
8. 未来发展方向
- 量子运算：利用量子叠加态并行计算（如Shor算法破解加密）。
- 存内计算：在存储器中直接完成运算，减少数据搬运能耗。
- 近似计算：容忍一定误差以提升能效（如边缘AI推理）。