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填空题速通

误差与误差传播

例

设$a=1.414$，$b=-0.576$是$x$，$y$经过四舍五入后得到的近似值，则以$\tilde{u}=ab$作为$u=xy$的近似值有____位有效数字。

解

$$\epsilon (ab)\le \epsilon (a)|b|+\epsilon (b)|a|=(1.414+0.576)\times \frac{1}{2}\times 10^{-3}\le 5\times 10^{-3}$$

又
$$\tilde{u}=ab=-0.814464$$

均差

例

若$f(x)=x^7+1$,则$f[2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^6,2^7]=$;$f[2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^6,2^7]=$。

解

$7!,0$

插值与误差

例

拉格朗日插值的截断误差为？牛顿插值的截断误差呢？

解

$$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

$$f[x_0,x_1,\cdots ,x_n,x]\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

范数、赋范线性空间与内积、内积空间

例

范数满足什么定义？

内积呢？

列举常见的范数。

解

略

范数

例

设
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& -2& 1\\ -1& 3& 0\end{array}\right)，x=\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 1\end{array}\right)$$
则$\Vert A{\Vert }_1=\_\_\_，\Vert x{\Vert }_2=\_\_\_，\Vert Ax{\Vert }_{\infty }=\_\_\_$

解

$5$,$\sqrt{26}$,$15$

代数精度

例

确定积分系数，使得代数精度尽量高。
$${\int }_{-1}^{1}f(x)\text{d}x=A_{1}f\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)+A_{2}f(0)+A_{3}f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

其代数精度最高为______.

解

$1,0,1,3$

数值微分

例

默写带余项的三点公式________.

解
$$f^{\prime \prime }(x_1)=\frac{1}{h^2}[f(x_1-h)-2f(x_1)+f(x_1+h)]-\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\xi )$$

积分误差

例

梯形和辛普森公式的积分误差为：_____
复合积分公式的误差为：_____

解

插值型积分公式的误差
$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x-\sum _{i=0}^n{A}_{i}f(x_i)=K{f}^{(n+1)}(\xi )}$$

得到梯形公式的截断误差

$$R[f]=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\xi )$$

辛普森公式的截断误差

$$R[f]=-\frac{h}{180}{\left(\frac{h}{2}\right)}^4{f}^{(4)}(\eta )$$

复合的截断误差为

$$R[f]=\sum \left(-\frac{h^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\xi )\right)\le -\max f^{\prime \prime }(\xi )\frac{b-a}{12}{h}^2$$

$$R[f]=\sum \left(-\frac{1}{180}{\left(\frac{h}{2}\right)}^4{f}^{(4)}(\eta )\right)\le -\max f^{(4)}(\eta )\frac{b-a}{180}{\left(\frac{h}{2}\right)}^4$$

迭代方程与收敛阶

例

用于解$f(x)=0$的单根双点弦截迭代公式为_______；简化牛顿法公式为_______；牛顿下山法公式为：;若为重根，其牛顿迭代格式为。

解

略。

微分方程数值解法的迭代公式与阶

例

请给出步长为$1$的二阶泰勒法求解初值问题

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=x+y\\ y(0)=1\end{array}$$
的迭代公式和局部误差阶，全局误差阶。

解

由泰勒展开

$$f(x_{n+1})=f(x_n)+f^{\prime }(x_n)(x_{n+1}-x_n)+\frac{f^{\prime \prime }(x_n)}{2!}(x_{n+1}-x_n{)}^2+\frac{f^{(3)(\xi )}}{3!}(x_{n+1}-x_n{)}^3+O((x_{n+1}-x_n{)}^4)$$

得到迭代公式:

$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+h{K}_1+\frac{1}{2}{h}^2{K}_2\\ K_1=x_n+y_n\\ K_2=1+x_n+y_n\end{array}$$

局部误差阶为$O(h^3)$，全局为$O(h^2)$。