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引言

本文针对《自动控制原理》第二章核心知识点，系统梳理微分方程建模、传递函数分析、结构图化简、非线性系统线性化及拉氏变换应用五大考点，帮助读者快速掌握控制系统数学模型的构建方法。附详细公式推导与典型例题分析框架。

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考点一：微分方程建模方法

通过物理元件特性建立微分方程是控制系统建模的起点，核心元件方程如下：

元件	物理特性	微分方程
电容	存储电场能，阻碍电压突变	$i_C(t)=C\cdot \frac{d{u}_C(t)}{dt}$
电感	存储磁场能，阻碍电流突变	$u_L(t)=L\cdot \frac{d{i}_L(t)}{dt}$
运算放大器	虚短（$V_{+}=V_{-}$） 虚断（$i_{+}=i_{-}=0$）	输入输出关系由外接电路决定
弹簧	胡克定律	$F=kx=k\cdot \int vdt$ $v=\frac{1}{k}\frac{d\xi }{dt}$
阻尼器	线性阻尼力	平动：$F=fv$ 转动：$F=f\omega$
机械转动	牛顿第二定律	$M=J\frac{d\omega }{dt}=J\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$
直流电机	电枢电压与转速关系	电学方程：$V(t)=R_a{i}_a(t)+L_a\frac{d{i}_a(t)}{dt}+K_b\omega (t)$ 机械方程：$K_t{i}_a(t)=J\frac{d\omega (t)}{dt}+B\omega (t)$

补充说明：

• 直流电机模型：输入为电枢电压$V(t)$，输出为转速$\omega (t)$
  • $R_a$：电枢电阻，$L_a$：电枢电感
  • $K_b$：反电动势常数，$K_t$：转矩常数（$K_b=K_t$时单位统一）
  • $J$：转动惯量，$B$：机械阻尼系数
• 联立方程可消去中间变量$i_a(t)$，得到$V(t)$与$\omega (t)$的二阶微分方程：
  $$L_{a}J\frac{d^2\omega }{d{t}^2}+(R_{a}J+L_{a}B)\frac{d\omega }{dt}+(R_{a}B+K_b{K}_t)\omega =K_{t}V(t)$$

建模步骤：

1. 列写元件物理方程；
2. 消除中间变量，得到输入输出的高阶微分方程。

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考点二：传递函数定义与典型环节

1. 传递函数定义

• 数学形式：$W(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$（零初始条件下输出与输入的拉氏变换比）
• 核心特性：仅由系统结构和参数决定，与输入信号无关。

2. 表示形式

形式	表达式	特点
零极点形式（首1型）	$W(s)=K\frac{\prod (s+z_i)}{\prod (s+p_j)}$	分子分母为首项系数1的多项式
典型环节形式（尾1型）	$W(s)=\frac{K}{s}\cdot \frac{1}{Ts+1}\cdot \cdots$	由基本环节乘积组成

3. 典型环节分类

环节名称	传递函数	动态特性
积分环节	$\frac{1}{s}$	输出累积输入信号
惯性环节	$\frac{1}{Ts+1}$	一阶滞后特性
振荡环节	$\frac{1}{T^2{s}^2+2\zeta Ts+1}$ ($\zeta <1$)	欠阻尼振荡响应
一阶微分环节	$Ts+1$	增强高频信号
二阶微分环节	$T^2{s}^2+2\zeta Ts+1$	相位超前补偿

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考点三：结构图化简与梅逊增益公式

梅逊增益公式

系统闭环传递函数可直接由前向通路和回路特性计算：
$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{\Delta }\sum _{k=1}^n{P}_k{\Delta }_k$$

• 参数定义：
  • $\Delta =1-\sum L_a+\sum L_b{L}_c-\sum L_d{L}_e{L}_f+\cdots$（系统特征式）
  • $P_k$：第$k$条前向通道增益
  • ${\Delta }_k$：与第$k$条前向通道不接触的回路余子式

应用步骤：

1. 标识所有前向通路和独立回路；
2. 计算回路增益并构造$\Delta$；
3. 对每条前向通路计算${\Delta }_k$；
4. 代入公式求解总传递函数。

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考点四：非线性系统线性化方法

泰勒展开线性化

在平衡工作点$x_0$附近对非线性方程$y=f(x)$进行泰勒展开并忽略高次项：
$$y\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

• 适用条件：小偏差范围内近似有效；
• 物理意义：将非线性系统转化为线性增量方程。

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考点五：拉普拉斯变换核心公式与定理

1. 常用t域-S域变换对

时域函数	S域表达式	备注
单位脉冲$\delta (t)$	$1$	理想瞬时信号
单位阶跃$1(t)$	$\frac{1}{s}$	稳态基准输入
斜坡函数$t$	$\frac{1}{s^2}$	速度信号模拟
加速度函数$\frac{1}{2}{t}^2$	$\frac{1}{s^3}$	加速度信号模拟
指数衰减$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$	一阶系统响应特征
$\sin \omega t$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	正弦输入响应分析
$\cos \omega t$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	余弦输入响应分析

2. 核心定理

定理名称	数学表达	应用场景
微分定理	$\mathcal{L}\left[\frac{df}{dt}\right]=sF(s)-f(0^{-})$	微分方程转代数方程
积分定理	$\mathcal{L}\left[\int f(t)dt\right]=\frac{1}{s}F(s)+\frac{f^{(-1)}(0^{-})}{s}$	积分项处理
终值定理	${\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}sF(s)$	稳态误差计算
位移定理	$\mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a)$	含指数项的函数变换
时域尺度变换	$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$	时间轴缩放问题分析

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总结

1. 微分方程建模需熟练掌握机电元件特性方程；
2. 传递函数分析重点关注典型环节的时频特性；
3. 梅逊公式需通过例题练习回路识别与前向通路计算；
4. 线性化方法强调泰勒展开的平衡点选取；
5. 拉氏变换建议结合常用变换对与定理推导综合练习。

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