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欧拉公式（Euler’s Formula）：
e i a = cos ( a ) + i sin ( a ) e^{ia} = \cos(a) + i\sin(a) eia=cos(a)+isin(a)
它是复数指数函数与三角函数之间的桥梁，是傅里叶分析和信号处理的基础之一。我们现在来从泰勒展开的角度严格推导它，并讲解每一步的数学意义。
一、背景知识准备
我们将使用泰勒级数展开来推导以下三个函数：
- 指数函数 e x e^x ex
- 余弦函数 cos ( x ) \cos(x) cos(x)
- 正弦函数 sin ( x ) \sin(x) sin(x)
1. 指数函数的泰勒展开：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ex=n=0∑∞n!xn
2. 正弦函数的泰勒展开：
sin ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} sin(x)=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1
3. 余弦函数的泰勒展开：
cos ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} cos(x)=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n
二、将 x x x 替换成 i a ia ia，构造 e i a e^{ia} eia
我们对 e x e^x ex 中的 x x x 替换为 i a ia ia，即：
e i a = ∑ n = 0 ∞ ( i a ) n n ! e^{ia} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ia)^n}{n!} eia=n=0∑∞n!(ia)n
我们将 ( i a ) n (ia)^n (ia)n 展开，使用虚数单位的幂：
| n n n | ( i ) n (i)^n (i)n |
|---|---|
| 0 | 1 1 1 |
| 1 | i i i |
| 2 | − 1 -1 −1 |
| 3 | − i -i −i |
| 4 | 1 1 1 |
| … | 循环出现 |
三、将指数级数分离为实部与虚部
e i a = ∑ n = 0 ∞ ( i a ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ i n a n n ! e^{ia} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ia)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n a^n}{n!} eia=n=0∑∞n!(ia)n=n=0∑∞n!inan
我们将奇数项与偶数项分开：
1. 偶数项（ n = 2 k n = 2k n=2k）：
∑ k = 0 ∞ ( i ) 2 k a 2 k ( 2 k ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k a 2 k ( 2 k ) ! = cos ( a ) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i)^{2k} a^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k a^{2k}}{(2k)!} = \cos(a) k=0∑∞(2k)!(i)2ka2k=k=0∑∞(2k)!(−1)ka2k=cos(a)
2. 奇数项（ n = 2 k + 1 n = 2k+1 n=2k+1）：
∑ k = 0 ∞ ( i ) 2 k + 1 a 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = i ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k a 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = i sin ( a ) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i)^{2k+1} a^{2k+1}}{(2k+1)!} = i \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k a^{2k+1}}{(2k+1)!} = i\sin(a) k=0∑∞(2k+1)!(i)2k+1a2k+1=ik=0∑∞(2k+1)!(−1)ka2k+1=isin(a)
四、组合得到欧拉公式
所以我们有：
e i a = cos ( a ) + i sin ( a ) e^{ia} = \cos(a) + i\sin(a) eia=cos(a)+isin(a)
这就是我们想要的结论。
五、物理/直观解释（极坐标视角）
复平面上的复数可以写成：
z = r e i θ z = r e^{i\theta} z=reiθ
表示一个模为 r r r，角度为 θ \theta θ 的复数点。
由欧拉公式：
e i θ = cos ( θ ) + i sin ( θ ) e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) eiθ=cos(θ)+isin(θ)
也就是说，单位圆上的角度 θ \theta θ 对应的复数，正好是复平面上的一个旋转角度为 θ \theta θ 的点。
六、傅里叶分析中的作用
欧拉公式是傅里叶变换的基础：
- 正弦和余弦可以统一为指数形式：
cos ( a ) = e i a + e − i a 2 , sin ( a ) = e i a − e − i a 2 i \cos(a) = \frac{e^{ia} + e^{-ia}}{2}, \quad \sin(a) = \frac{e^{ia} - e^{-ia}}{2i} cos(a)=2eia+e−ia,sin(a)=2ieia−e−ia - 傅里叶变换中的复指数项 e − i 2 π f t e^{-i2\pi f t} e−i2πft 就是通过这个公式来的，代表“频率为 f f f”的旋转基底。
- 实现频谱分析时，信号投影到正交的复指数基上，本质上就是利用了欧拉公式构造的复数基底。