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wzjs 2025/7/19 8:14:23

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1. 问题描述与标准化

考虑标准形式的线性规划问题

$\begin{aligned} \text{Maximize } & Z = c^T x, \\ \text{Subject to } & Ax = b, \\ & x \ge 0, \end{aligned}$

其中 $b \in \mathbb{R}^m$ 的元素可能有正有负。
为方便起见，通常将约束全部变为等式并且右端向量 b≥0（若不满足，可通过乘以 −1 调整），然后对不容易构造初始基本可行解的约束引入人工变量。

2. 构造人工变量及辅助问题

2.1 引入人工变量

对那些无法直接从原问题中获得初始可行解的约束，引入人工变量。设原问题经过适当变换后变为

$Ax = b, \quad x \ge 0,$

若某些行约束中不存在明显的基本变量，则在相应位置引入人工变量 a≥0（假设共有 p 个这样的约束）。记人工变量构成向量 a ，则系统变为

$Ax + I\cdot a = b, \quad x \ge 0, \quad a \ge 0.$

2.2 辅助问题的构造

为消除人工变量，构造辅助目标函数，将所有人工变量的和作为新的目标函数（最小化形式）：

$\text{Minimize } \; W = \sum_{i=1}^{p} a_i.$

辅助问题写为

$\begin{aligned} \text{Minimize } & W = \mathbf{1}^T a, \\ \text{Subject to } & Ax + I\cdot a = b, \\ & x \ge 0,\quad a \ge 0. \end{aligned}$

若辅助问题的最优值 $W^* = 0$ ，则说明存在一个满足原约束 Ax=b 且 x≥0 的解，此时去除人工变量得到原问题的初始可行解；若 $W^* > 0$ ，则原问题无可行解。

3. 两阶段法的具体推导与求解过程

阶段一：求解辅助问题

3.1 构造初始基

通常将所有人工变量 a 作为初始基变量，令原变量 x 均为零。此时基本解为

$x = 0,\quad a = b.$

辅助目标函数值为

$W = \mathbf{1}^T a = \mathbf{1}^T b.$

3.2 应用单纯形法求解辅助问题

利用单纯形法迭代，调整基变量组合，使辅助目标函数 W 得到最小化。在迭代过程中，我们进行以下两点操作：

进基变量的选择：根据辅助目标函数的相对成本，选择能降低 W 的变量进入基中。注意此时目标函数的系数来自于辅助问题的目标，即对人工变量系数均为 1，对原变量系数为 0。
出基变量的选择：利用最小比值法确定在保持可行性的前提下的最大步长，从而选择合适的基变量离开基。

当辅助问题经过若干次迭代后，若达到 $W^* = 0$ 且所有人工变量均为零，则成功获得一个原问题的基本可行解；否则若 $W^* > 0$ ，说明原问题无可行解。

阶段二：求解原问题

3.3 去除人工变量

在第一阶段结束后，若辅助问题的最优解满足 a=0 ，则将辅助问题中所构造的人工变量从约束中去除。注意：

有时可能存在基中仍含有人工变量（但其值为 0），此时需要通过适当的换基操作，将人工变量剔除出基，从而获得纯原变量构成的初始基。

3.4 构造原问题的单纯形表

利用第一阶段获得的基本可行解作为原问题的初始解，对原问题目标函数

$Z = c^T x$

重新构造单纯形表，调整目标函数系数，并利用单纯形法继续迭代求解，直至满足最优性条件。

4. 两阶段法推导总结

4.1 两阶段法的核心思想

阶段一：构造并求解辅助问题，消除人工变量，从而获得原问题的初始基本可行解。
- 通过构造目标函数 $W = \sum a_i$ ，使得只要存在满足原约束的解，辅助问题的最优值必为 0。
阶段二：利用第一阶段的解构造原问题的单纯形表，开始求解原问题。
- 在这一阶段，人工变量被剔除，目标函数变回原始目标 $Z = c^T x$ ，然后继续利用单纯形法的换基操作寻找最优解。

4.2 数学依据

有限性：基本可行解的个数有限，因此辅助问题和原问题均在有限步内结束（在非循环规则下）。
保持可行性：在每一步迭代中，通过最小比值法确保解始终满足非负性条件。
目标函数改进：在单纯形迭代过程中，每一次换基（在非退化情况下）都会使目标函数改善，从而最终达到最优解。

总结

两阶段单纯形法的计算过程可概括为：

问题标准化：将原问题转为等式约束形式，并引入人工变量构造辅助问题。
阶段一：以人工变量为基本变量，构造辅助目标函数 $W = \sum a_i$ ，利用单纯形法求解辅助问题，判断原问题是否可行。
阶段二：在辅助问题最优解 $W^*=0$ 的前提下，剔除人工变量，利用第一阶段得到的基本可行解作为原问题的初始解，重新构造原问题单纯形表并继续迭代求解原问题最优解。