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思路（The Idea）

使用穷举搜索解决问题基于“KISS” 原则（Keep It Simple, Stupid）。在竞赛中解决问题的目标是在规定时间内写出能运行的程序——是否存在更快的算法并不重要。

穷举搜索是一种利用暴力、直接、尝试所有可能的方法来寻找答案的策略。这种方法几乎应该是你优先考虑的第一个算法或解法。如果它能在时间和空间限制内运行，那么就使用它：这种方法通常易于编码，也易于调试。这样你就有更多时间去解决那些暴力法无法快速解决的难题。

如果一个问题的可能情况不超过几百万个，就可以对所有情况进行遍历，验证哪个符合要求。

如何评估“可能性数量”（How to evaluate ‘number of possibilities’）

要判断是否可以使用暴力法，需要估算满足某个判定条件所需进行的总操作次数。这要求你对在最大输入规模下需要多少操作有一个大致的判断。

这正是“大 O 记法（Big-O Notation）”的用途。你会看到算法复杂度被描述为 $O(N)$、$O(NlogN)$、$O(N^2)$ 等。这意味着在一般情况下，输入规模增加会使运行时间按 $O()$ 中的函数增长。

例如：

• 对于 $O(N)$，如果 $N$ 加倍，操作数也加倍。
• 对于 $O(N^2)$，当 $N$ 为 $1000$ 时，总操作量是 $1,000,000$，通常远超循环体中的基本操作速度，导致运行时间迅速增长。

一般来说，$O(N^2)$ 或更高阶的复杂度在 $N$ 较大时会变得很慢，但有些编程题目的 $N$ 较小，$O(N^2)$ 的复杂度仍可以接受。

判断程序复杂度最基本的方法是找出嵌套最深的循环，统计其中循环变量的数量。如果循环是无条件执行的，可以将各层循环次数相乘：

for i = 1 to N for j = 1 to Nfor k = 1 to N

上述是 $3$ 层嵌套，每层大小为 $N$，时间复杂度为 $O(N^3)$。

在典型的竞赛题中，内部计算通常非常快，大约需要几十或几百纳秒（十亿分之一秒），有时是几微秒（百万分之一秒）。但如果 $N=1000$，$O(N^3)$ 的复杂度将使总运行时间达到秒级，往往过慢。

关于递归的说明

递归解法的复杂度评估与循环类似，但要额外考虑栈空间开销。每一层递归都会为局部变量分配栈空间。当递归层数达到大约 $10,000$ 时，很可能超出内存限制。

建议：

• 避免无用的局部变量
• 计算最大递归深度，确保不会耗尽栈空间

注意，顺序执行的代码段最终运行时间由最慢的一部分决定。比如有三个 $O(N^2)$ 的循环和一个 $O(N^3)$ 的循环，整体复杂度就是 $O(N^3)$。

小心陷阱（Careful, Careful）

有时候，并不容易看出是否可以使用穷举搜索。

1. 例题：Party Lamps [IOI 1998]

   问题描述：你有 $N$ 个灯和 $4$ 个开关：

   • 第一个开关：切换所有灯的状态
   • 第二个开关：切换编号为偶数的灯
   • 第三个开关：切换编号为奇数的灯
   • 第四个开关：切换编号为 $1,4,7,10,...$ 的灯

   给定 $N$、最多 $10000$ 次按钮按压、以及某些灯的状态（如灯 $7$ 是关的），要求输出所有可能的灯状态。

   初始思路：

   每次按按钮有 $4$ 种选择，总共 $4^{10000}$ 种组合（约为 $10^{6020}$），完全无法穷举。

   简化观察：

   按钮顺序无关 → 降为 $10^4$ 次选择（约为 $10^{16}$），仍然太大。

   同一按钮按两次=没按 → 每个按钮只有按或不按两种状态，变为 $2^4=16$ 种组合。

   最终只需遍历 $16$ 种按钮组合，完全可行，暴力法即可解决。

2. 例题：The Clocks [IOI 1994]

   问题描述：一个 $3\times 3$ 网格中的 $9$ 个时钟，每个时间为 $12:00$、$3:00$、$6:00$ 或 $9:00$。目标是将所有时钟都调成 $12:00$。你可以使用 $9$ 种不同的“移动”，每种会使特定一组时钟顺时针旋转 $90$ 度。

   初始思路：

   递归查找是否存在 $1$ 步、$2$ 步… 的解，时间复杂度为 $9^k$（$k$ 为步数），效率低下。

   优化观察：

   移动顺序无关 → 降为 $k^9$，仍然不够快。

   同一个移动做 $4$ 次 = 没做 → 每个移动最多做 $3$ 次

   所以总组合为 $4^9=262,144$，完全可以暴力搜索。

   结论：有了这个观察后，暴力法是足够的。

3. 示例题目（Sample Problems）Milking Cows [USACO 1996]

   给出奶牛的挤奶时间段（例如 Farmer A: 3001000，Farmer B: 7001200），求：至少有一头牛在被挤奶的最长连续时间段；没有任何牛在被挤奶的最长时间段

4. Perfect Cows & Perfect Cow Cousins [USACO 1995]

   定义：

   • 完美数：所有真因子的和等于这个数（如 $28=1+2+4+7+14$）
   • 完美对：两个数互为其因子和
   • 完美集合：多个数的因子和依次对应下一个，最后一个因子和回到第一个

   任务：

   • 每头牛有编号（$1\sim 32000$）
   • 找出所有编号为完美数的牛（完美牛）
   • 找出所有能组成完美集合的牛群（完美牛亲族）