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今天学习的内容是动态规划算法。

 动态规划算法（Dynamic Programming，简称 DP）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题来求解的算法思想。它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。

 

 

一、动态规划的基本概念

 

 

1. 最优子结构

 

  一个复杂问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。换句话说，问题的最优解包含其子问题的最优解。例如，在背包问题中，如果一个物品被选择放入背包，那么剩余容量下的最优解就是子问题的最优解。

 

2. 重叠子问题

 

  在求解过程中，相同的子问题会被多次计算。动态规划通过存储这些子问题的解（通常使用一个表格），避免重复计算，从而提高效率。例如，在计算斐波那契数列时，`F(n) = F(n-1) + F(n-2)`，如果不使用动态规划，会重复计算很多子问题。

 

 

二、动态规划的解题步骤

 

 

1. 定义状态

 

 状态是动态规划的核心，它表示问题的某个阶段的解。状态的定义需要满足两个条件：能够唯一表示问题的子问题，并且能够通过状态之间的关系推导出最终解。

 

2. 状态转移方程

 

 状态转移方程描述了状态之间的关系，即如何从已知的状态推导出新的状态。这是动态规划的关键部分。

 

3. 初始化

 

  确定动态规划的初始化。

经典问题

1.最长递增子序列（LIS）

 

• 给定一个序列，求其最长递增子序列的长度。例如，对于序列`[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]`，最长递增子序列是`[2, 3, 7, 18]`，长度为 4。

 

• 状态定义：`dp[i]`表示以第`i`个元素结尾的最长递增子序列的长度。

 

• 状态转移方程：

\[

dp[i]=\max{0\le j<i\text{且}a_j<a_i}(dp[j]+1)

\]

其中，`a`是输入序列。

 

• 初始化：`dp[i] = 1`（每个元素自身可以构成长度为 1 的递增子序列）。

 

• 计算顺序：从`i = 0`到`n - 1`。

 

动态规划的优化技巧

 

 

1. 空间优化

 

• 在许多情况下，可以将二维动态规划表优化为一维数组。例如，在背包问题中，如果只关心最终结果，可以将`dp[i][j]`优化为`dp[j]`，通过从后向前更新`dp[j]`来避免覆盖问题。

 

2. 二分查找优化

 

• 在某些动态规划问题中，可以结合二分查找来优化状态转移。例如，在最长递增子序列问题中，可以使用二分查找来快速找到合适的插入位置，从而将时间复杂度从\(O(n^2)\)优化到\(O(n\log n)\)。

 

3. 滚动数组

 

• 当状态转移只依赖于前几行时，可以使用滚动数组来减少空间复杂度。例如，在二维动态规划中，如果状态转移只依赖于前一行，可以只使用两个一维数组交替更新。

 

动态规划是一种强大的算法思想，通过合理定义状态和状态转移方程，可以高效地解决许多复杂问题。