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前言
求法一
代码
求法二
代码
求法三
代码
求法四
代码
前言
今天要将最后一部分，主要涉及组合数的四种求法。
前置知识
组合数的通项公式：
组合数的递推公式：
卢卡斯定理：
我们今天需要求的四种求法主要基于这几个公式。
求法一
求法一利用的是递推公式，主要用于n <= 2000即可以打n^2的表的题目。
这个递推公式是怎样求出来的呢？其实很简单，我们单独对一个元素做分类讨论，显然有两种可能的情况：
-
选择：
C_{n - 1}^{m - 1} -
不选择：
C_{n - 1} ^ {m}
最后二者相加能够得到的就是C_n^m，时间复杂度是O(n^2)。
代码
const int N = 2010;
int C[N][N];
void init()
{for (int i = 0; i < N; i++){C[i][0] = 1; for (int j = 1; j <= i; j++)C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % P;}
}求法二
求法二主要应对的是n <= 1e5这种只能够打一维表的数据。我们使用通项公式求解。不过需要取模，而对于模意义下显然不可以直接做除法，需要求逆元。
注意这里有个隐藏条件是P是质数，这样才能保证每一项都存在逆元。时间复杂度为O(nlogn)
代码
const int N = 100010, P = 10007;
int F[N], Fe[N];
int quick(int n, int k)
{int cnt = 1;while (k){if (k & 1) cnt = cnt * n % P;n = n * n % P;k >>= 1;}return cnt;
}
void init()
{F[0] = Fe[0] = 1;for (int i = 1; i < N; i++){F[i] = F[i - 1] * i % P;Fe[i] = Fe[i - 1] * quick(i, P - 2) % P;}
}求法三
可算是找到了一道模板题（
这道题可以发现n很大，若再使用阶乘求得话时间复杂度就是nlogn是必定超时的。
对于这种情况我们就可以使用卢卡斯定理求解，当然依旧有个前提是P是质数。
至于这个卢卡斯定理怎么求出来的我也不太懂，大家记住就好了，很形象，不难记。
若使用卢卡斯定理的话时间复杂度是：
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int P = 10007;
int t, m, n;
int quick(int n, int k)
{int cnt = 1;while(k){if(k & 1) cnt = cnt * n % P;k >>= 1;n = n * n % P;}return cnt;
}
int C(int n, int m)
{int l = 1;for(int i = 1, j = n; i <= m; i++, j--){l = l * j % P;l = l * quick(i, P - 2) % P; //乘以逆元}return l;
}
int lks(int n, int m)
{if(n < P) return C(n, m);return C(n % P, m % P) * lks(n/P, m/P) % P;
}
int main()
{scanf("%d", &t);while(t--){scanf("%d%d", &n, &m);printf("%d\n", lks(n, m));}}求法四
n很大并且不取余。
显然对于这样的问题就需要使用高精度来求解。
我们使用的依旧是通项公式。
不过对于通项公式：
里面是有乘法有除法的，这并不理想，有没有更优秀的求法呢？
这个求法很巧妙的，原理就是将阶乘分解质因数，然后消掉重复的部分，因为组合数都是整数所以上面部分是一定可以被下面部分整除的，所以大家不需要考虑消不完的情况。
那么我们如何对阶乘分解质因数呢？这个很简单，我们首先筛出所1~n中所有的质数，随后运用一个公式：
对于这个公式主播最开始感觉有些摸不着头脑，但是想明白后只想说：妙，太妙了……
如何来理解呢？其实很简单n/p其实就是求出1 ~ n中能被p整除的数字的个数，以此类推……
代码
#include<iostream>
#include<vector>
//#define int long long
using namespace std;
//typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
bool is_prime[N];
int n, m;
int quick(int n, int k)
{int l = 1;while (k){if (k & 1) l *= n;n = n * n;k >>= 1;}//printf("%d\n", l);return l;
}
vector<int> prime_shai(int n) //线性筛法
{vector<int> p;for (int i = 2; i <= n; i++){if (!is_prime[i]) p.push_back(i);for (int j = 0; p[j] <= n / i; j++){is_prime[i * p[j]] = true;if (i % p[j] == 0) break;}}return p;
}
int get_num(int n, int p)
{int l = 0;int cnt = p;while (n / p){l += n / p;p *= cnt;}return l;
}
vector<int> cur(vector<int>& A, int b)
{int x = 0;vector<int> C;for (int i = 0; i < A.size(); i++){x += A[i] * b;C.push_back(x % 10);x /= 10;}while (x){C.push_back(x % 10);x /= 10;}return C;
}
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);vector<int> A = { 1 }; //高精度vector<int> p = prime_shai(n);for (int i = 0; i < p.size(); i++){int l = get_num(n, p[i]) - get_num(m, p[i]) - get_num(n - m, p[i]);A = cur(A, quick(p[i], l));}for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)printf("%d", A[i]);return 0;
}