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形象理解

• 类似于要用一堆半透明的棉花糖拼成一个3D场景，它是用“会发光的高斯小球”拼出整个世界（其中的发光程度由高斯的概率分布来表示）,每个高斯小球都有不同的大小、形状、颜色和透明度。最终，用数万到数百万个3D高斯函数（数学上的“小球”）表示3D场景，每个高斯函数有自己的位置、大小、旋转、颜色和透明度。

对3D高斯球的理解

• 3D高斯函数像一团“模糊的球”，中心最密，边缘逐渐变淡（类似雾滴或发光粒子）。它由四个参数组成：

  • 均值（μ）：小球中心的位置（XYZ坐标），通常由SFM得到的稀疏点云来初始化。
  • 协方差矩阵（Σ）：控制小球的拉伸、缩放和旋转（形状），通常根据相邻点直接的密度初始化 ，用于更好低拟合3D真实物体。
  • 颜色（c）和透明度（α）：决定小球的外观。

• 3D通过自适应控制和参数优化来拟合真实场景

  • 如果某区域细节丰富（如树叶），机器学习会分裂更多小球填充细节。
  • 如果某区域过于平滑（如墙面），会合并或删除多余的小球。
  • 通过梯度下降调整每个小球的位置、形状、颜色，使得渲染结果和真实照片一致（通过可微的数学模型表示）

• 渲染：将3D高斯投影到2D屏幕上，变成一个个椭圆（类似把棉花糖按扁在玻璃上）。每个椭圆根据距离相机的远近决定叠加顺序（从后往前渲染）。椭圆的颜色和透明度按高斯权重（每个高斯小球对于该像素的贡献度）混合，形成最终像素颜色。

建模过程

• 1. 首先，将3D高斯从世界坐标系变换到相机坐标系（视角空间）, 包括位置和协方差矩阵在变化，T为世界到相机坐标系的转换矩阵（外参），J为转换矩阵的对于的雅可比矩阵。
     
• 2. 投影到2D图像平面，通过透视投影将相机空间的高斯投影到2D屏幕空间，其中Π是投影矩阵（内参），J是投影矩阵对于的雅可比矩阵。
     
     2D高斯的表达式，x 是投影到平面的像素坐标，Σ是控制椭圆的形状和方向的协方差矩阵
     
• 3. 进行排序、混合、渲染
  • 深度排序，对所有投影到同一像素的2D高斯按深度（Z值）从远到近排序：
    
  • 逐层混合颜色， 其中ci是第i个高斯的RGB颜色（SH函数表示）。G2D 是第i个高斯在像素x处的权重，用于描述该高斯球对于该像素的贡献（由于一个高斯球通常投影下来后对应对个像素点，这个像素点可能是该球的中心或边缘）。∏xxx表示前面所有高斯的累计透明度（遮挡关系）。
    

• 最后，将渲染得到的像素点与真实的图像像素点比对，以学习每个高随球的参数。