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凯恩斯宏观经济学与马歇尔微观经济学的数学建模和形式化表征

凯恩斯和马歇尔分别从宏观与微观视角构建了经济学的基础理论体系。以下通过数学公式对两者的核心思想进行形式化表征，并结合经典案例阐释其逻辑。

一、凯恩斯宏观经济学的数学框架

凯恩斯理论聚焦总需求决定产出与就业，强调短期非均衡与政府干预的必要性。

1. 总需求(-总供给)模型（AD-AS）

AD=C+I+G+(X−M)

AS=f(N,K,T)（短期价格粘性下，AS水平线）

变量定义：

AD：总需求，AS：总供给

C：消费，II：投资，G：政府支出，X−M：净出口

N：就业量，K：资本存量，T：技术

核心方程：

消费函数（边际消费倾向递减）：

C=C_0+c(Y−T)(0<c<1)

C_0​：自主消费，c：边际消费倾向，Y：国民收入，T：税收

投资函数（流动性偏好与资本边际效率）：

I=I_0−b_r(b>0)

I_0：自主投资，r：利率，b：投资利率弹性

货币市场均衡（LM曲线）：

M/P=L(Y,r)=k_Y−h_r(k,h>0)

M：货币供给，P：价格水平，L：货币需求

综合均衡（IS-LM模型）：

{Y=C+I+G+(X−M)

MP=k_Y−h_r

案例：大萧条中的财政乘数效应
假设 c=0.8，税收 T=0，政府增加支出 ΔG=100亿美元：

乘数=1/1−c=5⇒ΔY=5×100=500 亿美元

总需求扩张通过连锁消费反应放大产出。

2. 非自愿失业的数学表达

劳动力市场非均衡：

N^S=L（劳动力供给）,N^D=Y/a（生产函数 Y=a_N)

非自愿失业量：

U=L−Y/a当 Y<Y_潜在

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二、马歇尔微观经济学的数学框架

马歇尔理论以局部均衡分析为核心，强调市场机制通过价格调节实现供需匹配。

1. 供需均衡模型

需求函数（边际效用递减）：

Q^D=D(P)=α−βP(α,β>0)

供给函数（边际成本递增）：

Q^S=S(P)=γ+δP(γ,δ>0)

市场均衡：

Q^D=Q^S⇒P^∗=α−γ/β+δ,Q^∗=αδ+βγ/β+δ

案例：小麦市场均衡
设需求 Q^D=100−2P，供给 Q^S=20+3P：

P^∗=100−20/2+3=16 美元, Q^∗=100−2×16=68 万吨

2. 消费者与生产者剩余

消费者剩余（CS）：

CS=∫_0^Q^∗D^−1(Q) dQ−P^∗Q^∗

生产者剩余（PS）：

PS=P^∗Q^∗−∫_0^Q^∗S^−1(Q) dQ

案例：价格管制福利损失
若小麦限价 P=12<P^∗=16：

无谓损失=1/2×(Q^∗−Q_限)×(P^∗−P_限)

（需具体计算供需弹性下的三角形面积） 

3. 企业决策（边际分析）

利润最大化：

max π=TR(Q)−TC(Q)⇒MR=MC

MR=d(TR)/dQ：边际收益

MC=d(TC)/dQ：边际成本

案例：完全竞争企业
设市场价格 P=10，成本函数 TC=2Q^2+5Q+20：

MC=4Q+5⇒4Q+5=10⇒Q^∗=1.25

三、宏观与微观的数学联结

新古典综合学派将两者结合，如总供给曲线的微观基础：

AS_长期=Y_潜在=F(K‾,L‾,T)（生产函数）

短期AS曲线斜率取决于价格粘性程度，可用菲利普斯曲线描述：

π=π^e−λ(U−U_n)

四、对比与整合

维度	凯恩斯宏观模型	马歇尔微观模型
核心方程	Y=C+I+G+NX	Q^D=Q^S
时间视角	短期价格粘性	短期与长期均衡（马歇尔剪刀）
决策主体	总量行为（消费倾向、投资冲动）	个体优化（边际效用=价格）
政策含义	需求管理（财政/货币政策）	市场自由调节（反价格管制）
数学工具	联立方程、乘数分析	微积分（导数求极值）、局部均衡

总结

凯恩斯宏观模型通过总需求方程和IS-LM框架量化经济波动与政策干预效果；

马歇尔微观模型以供需函数和边际分析揭示市场机制效率；

整合应用：

现代DSGE（动态随机一般均衡）模型将微观主体优化嵌入宏观动态系统，例如：

max_E_0∑_t=0^∞β^t u(C_t,L_t)s.t.C_t+K_t+1=w_tL_t+(1+r_t)K_t

此类模型既保留马歇尔的个体理性，又纳入凯恩斯的非均衡动态，成为政策模拟的核心工具。