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差分

记录累计差值，相当于输入前缀和数组，计算保留”原数组“，差分和前缀和是互逆操作；

思想

给定我们一个数组a[0],a[1]，a[2]....a[n]

我们做一个数组b[0],b[1],b[2]...b[n]

b[i]符合b[i]=a[i]-a[i-1]

此时b是a的差分，a是b的前缀和

要求在a[l]到a[r]中的所有数都加上c

因为a是b的前缀和，只需要在b[l]+c

a[l]以及a[l]到a[n]所有数，都会+c

只需要在b[r+1]-c，b[r+1]以及b[r+1]到b[n]所有数都会减c

这里的n指的是数组末尾

一维差分经典题目

活动 - AcWing

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int sun[100010],arr[100010],xsun[100010];
int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>sun[i];//求差分，输入的数组是前缀和数组arr[i]=sun[i]-sun[i-1];//求差分数组}while(m--){int l,r,c;cin>>l>>r>>c;//因为sum是arr的前缀和，只需要在arr[l]+c//sun[l]以及sun[l]到sun[n]所有数，都会+c//n是数组最后一个下标arr[l]+=c;//同样，因为因为sum是arr的前缀和,a[r+1]-c//sun[r+1]以及sun[r+1]到sun[n]所有数，都会-carr[r+1]-=c;}for(int i=1;i<=n;i++){xsun[i]=arr[i]+xsun[i-1];//输出改变完值的arr的前缀和数组cout<<xsun[i]<<' ';}return 0;
}

二维差分

题目

活动 - AcWing

思路

把给定的数组当做前缀和数组sun读入，读入的同时求sun的差分，或者说原数组

利用求出的差分数组arr，如果要对一个子矩阵添加删除

只需要对arr数组进行操作,就可以在O（1)的复杂度下批量增删sun数组

假设题目要求对x1,y1,x2,y2子矩阵+c

第一步

假设第二步

实际第二步

上图转换成代码

    	//arr[x1][y1]+c//则其前缀和数组从[x1][y1]开始每个都+carr[x1][y1]+=c;//arr[x2+1][y1]-c,因为只加子矩阵x1,y1,x2,y2//所以去掉多加的部分arr[x2+1][y1]-=c;//这里也是去掉多+的部分arr[x1][y2+1]-=c;//两次去掉多+的部分过程中//有重复删除的部分,把重复删除的部分，添加上一次arr[x2+1][y2+1]+=c;

减完之后，我们就可以求arr的二维前缀和xsun

前缀和

然后输出xsun即可

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int sun[1010][1010],arr[1010][1010],xsun[1010][1010];
int main(){int n,m,q;cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&sun[i][j]);//把初始数组当成前缀和数组输入//利用前缀和数组计算原数组//或者说计算差分数组//差分数组通过sun[i][j]减去arr[i][j]+arr[i][j-1]获取//arr[i][j]+arr[i][j-1]的值通过sun不断减去获得//具体过程和求前缀和加法逻辑一样arr[i][j]=sun[i][j]-sun[i-1][j]-sun[i][j-1]+sun[i-1][j-1];}}//q次询问while(q--){int x1,y1,x2,y2,c;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;//arr[x1][y1]+c//则其前缀和数组从[x1][y1]开始每个都+carr[x1][y1]+=c;//arr[x2+1][y1]-c,因为只加子矩阵x1,y1,x2,y2//所以去掉多加的部分arr[x2+1][y1]-=c;//这里也是去掉多+的部分arr[x1][y2+1]-=c;//两次去掉多+的部分过程中//有重复删除的部分,把重复删除的部分，添加上一次arr[x2+1][y2+1]+=c;}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){//求arr的二维前缀和xsun[i][j]=arr[i][j]+xsun[i-1][j]+xsun[i][j-1]-xsun[i-1][j-1];cout<<xsun[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;
}