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5526. 平衡细菌

题意

给定一个序列 $(a_i)$，每次操作可以选择一个位置 (p)，令从 $(a_p)$ 开始的每个数都加上一个以 (1) 或者 (-1) 为公差的从 $(1/-1)$ 开始的等差数列。求最小化让序列归零的操作次数。

解题思路

这是一道差分模板题，我们从差分角度观察操作的本质：

• 给一段区间加上：$(1,2,3,4,5\dots )$
• 在一阶差分数组上：$(1,1,1,1,1\dots )$
• 在二阶差分数组上：$(1,0,0,0,0\dots )$

所以每次修改的本质实际上是在二阶差分数组上 (+1) 或者 (-1)。要让原序列变成 (0) 序列，等价于要让它的二阶差分数组变成 (0) 序列，因此答案就是二阶差分数组中所有数的绝对值之和。

钦定：$d_i=a_i-a_{i-1},d{d}_i=d_i-d_{i-1}$

$$\text{ans}=\sum _{i=1}^n|d{d}_i|$$

AC Code

// Problem: 平衡细菌
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/5529/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll; // 确保 ll 在使用前被定义
using namespace std;
using i64 = long long;
#define f for(int i = 0; i < n;++i)
#define ff for(int i = 1; i <= n;++i)
#define int long long 
#define pii pair<int,int>
#define In \ll n; \std::cin >> n;\

const int mod = 1e9 + 7, N = 1e7;void solve(){In; vector<i64> a(n + 1), d(n + 1), dd(n + 1);for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];for(int i = 1; i <= n; i ++) d[i] = a[i] - a[i - 1];for(int i = 1; i <= n; i ++) dd[i] = d[i] - d[i - 1];i64 ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) ans += abs(dd[i]);cout << ans << '\n';
}signed main(){std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);ll T = 1;//std::cin >> T;for(int i = 1; i <= T; ++i) solve();
}