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第四章：Placement（布局）
在VLSI物理设计中，布局（Placement）的目标是确定电路中每个模块（或门）的位置，以最小化线长、时序延迟或功耗，同时满足面积和拥塞约束。第四章聚焦三种经典布局算法，涵盖递归划分、解析优化和模拟退火，以下是详细介绍：
1. 最小割布局（Mincut Placement）
核心目标
通过递归二分划分电路，每次切割最小化跨分区连接（割集），结合终端传播优化模块位置，减少全局线长。
核心思想（Breuer算法 + Dunlop-Kernighan终端传播）
- 递归二分划分：
- 将电路递归划分为两个子电路，每次切割选择最小割集（跨区连接权重和最小）。
- 划分区域交替横纵切割（如先垂直后水平），形成层次化布局（图4.1a）。
- 终端传播（Terminal Propagation）：
- 对每个分区，将外部连接（终端）作为“锚点”，吸引相关模块靠近分区边界，减少跨区线长（图4.1b）。
- 示例：若模块y在分区外且靠近切割线，将其“传播”到分区边界，引导关联模块进入对应分区。
关键步骤
- 初始划分：随机或基于连通性划分电路，计算初始割集（图4.2-4.3）。
- 递归切割：
- 每次切割前，评估水平/垂直切割的割集大小，选择较小者（图4.3a-4.3f）。
- 终端传播：对分区外的连接终端，若位于“窗口”外（如中三分之一区域外），将其作为锚点吸引模块（图4.4-4.8）。
- 网格映射：将最终分区的模块放置到网格（如4×4网格），计算半周长线长（图4.3f、4.10d）。
优势与应用
- 优点：适合大规模电路，分层处理降低复杂度；终端传播有效减少长距离连线。
- 缺点：依赖划分质量，可能陷入局部最优；网格映射可能引入布局重叠。
- 典型应用：早期标准单元布局，如微处理器核心模块划分。
2. GORDIAN算法（基于二次规划的解析布局）
核心目标
通过二次规划（QP）最小化平方线长，结合分层划分和重心约束，逐步细化模块位置，减少重叠并优化线长。
核心思想
- 二次规划建模：
- 目标函数：最小化模块间连线的平方距离，形如 (\frac{1}{2}x^T C x + d_x^T x)，其中 (C) 是拉普拉斯矩阵，描述模块连接权重；(d_x) 是固定引脚的坐标影响（图4.13）。
- 约束条件：分层划分后的重心约束（如分区模块重心与分区中心重合）。
- 分层优化：
- 顶层优化（Level 0）：无约束QP，求解模块初步位置（图4.14）。
- 分层约束（Level 1/2）：加入分区重心约束，如垂直/水平切割后，子分区模块重心必须位于子区域中心（图4.15-4.17）。
关键步骤
- 图模型构建：将网表转换为带权无向图，边权为 (2/k)（k为网的扇出数）（图4.12）。
- QP求解：
- 使用MOSEK等求解器，计算模块坐标，最小化平方线长（图4.14）。
- 分层时添加线性约束（如 (A x = u_x)，确保分区重心匹配）（图4.15）。
- 示例：四层模块布局，通过三层优化（Level 0-2）逐步细化位置，减少重叠并优化线长（图4.14-4.18）。
优势与应用
- 优点：数学优化保证局部最优，适合处理大规模电路的全局布局。
- 缺点：初始位置敏感，需后续合法化处理重叠；计算复杂度高（O(n³)）。
- 典型应用：混合信号电路布局，平衡模拟与数字模块的线长和噪声约束。
3. TimberWolf算法（基于模拟退火的布局）
核心目标
通过模拟退火（Simulated Annealing, SA）优化单元位置，允许单元交换和移动，最小化线长并消除重叠，适用于标准单元布局。
核心思想
- 单元交换与移动：
- 随机交换两个单元，计算线长变化 (\Delta C = \Delta W + \Delta W_S)，其中 (\Delta W) 是直接线长变化，(\Delta W_S) 是移位消除重叠的线长估计（图4.19-4.25）。
- 使用两种模型估计移位影响：
- Model A：精确计算边界点的线长变化。
- Model B：梯度法快速估计（如计算模块对网的边界影响，图4.20-4.21）。
- 重叠消除：交换后优先移位短边的单元，减少重叠（图4.19b、4.22b）。
关键步骤
- 初始化：随机放置单元，计算初始线长（图4.19a）。
- 模拟退火循环：
- 随机选择单元对交换，计算增益（Gain），若增益为负（线长减少）则接受，否则以概率接受（Metropolis准则）。
- 移位消除重叠：交换后若单元宽度不同，移位较窄行的单元以避免重叠（图4.22b、4.25b）。
- 示例：交换单元b和e，计算线长变化，移位单元h后消除重叠，线长从19增加到20（图4.19-4.21）。
优势与应用
- 优点：全局搜索能力强，适合详细布局优化；处理标准单元行的密集布局。
- 缺点：计算耗时（依赖温度调度和迭代次数）；局部最优可能影响结果。
- 典型应用：ASIC标准单元布局，如微控制器的高密度逻辑单元排列。
4. 算法对比与总结
| 算法 | 核心方法 | 优化目标 | 模块支持 | 关键技术 | 典型示例 |
|---|---|---|---|---|---|
| Mincut Placement | 递归二分+终端传播 | 割集最小化 | 任意模块 | 分层划分、终端锚点引导 | 图4.3（4×4网格布局，线长27） |
| GORDIAN | 二次规划+分层约束 | 平方线长最小化 | 混合模块（软/硬） | 拉普拉斯矩阵、重心约束 | 图4.14-4.18（三层优化布局） |
| TimberWolf | 模拟退火+单元交换 | 线长+重叠消除 | 标准单元（固定尺寸） | 增益计算、Model A/B估计 | 图4.19-4.25（单元交换与移位） |
核心技术对比
- 划分 vs 解析 vs 启发式：
- Mincut依赖分层划分，适合粗布局；GORDIAN通过数学规划求局部最优；TimberWolf用SA探索全局解。
- 线长度量：
- Mincut用半周长（HPWL），GORDIAN用平方线长（适合数学优化），TimberWolf用精确/估计模型。
- 约束处理：
- GORDIAN支持重心约束（分区平衡），TimberWolf隐式处理重叠（移位消除），Mincut依赖终端传播间接优化。
实际应用场景
- 大规模电路：先使用Mincut进行粗划分，再用TimberWolf细化，结合GORDIAN的解析优化提升线长。
- 高性能设计：GORDIAN的二次规划适合时序关键路径布局，确保模块靠近减少延迟。
- 标准单元库：TimberWolf的单元交换和SA适合密集布局，降低芯片面积和线长。
5. 关键贡献与局限
- Mincut Placement：开创递归划分布局，终端传播技术成为现代分层布局的基础（如Cadence Encounter的早期版本）。
- GORDIAN：首次将二次规划引入布局，推动解析布局算法发展，影响后续FastPlace等工具。
- TimberWolf：模拟退火在布局中的成功应用，证明启发式算法在详细优化中的有效性，成为工业级工具的核心组件（如Synopsys IC Compiler）。
第四章的算法覆盖了从早期分层划分到现代启发式优化的核心方法，为VLSI布局提供了从粗到细的完整流程，是后续布线和物理验证的关键前置步骤。