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在图形学中，向量是描述几何、光照、运动等核心概念的基础工具。以下是向量在图形学中的关键应用和深入解析：

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1. 向量的核心作用

• 几何表示：描述点、方向、法线、切线等。
• 空间变换：平移、旋转、缩放等操作依赖向量运算。
• 光照计算：光线方向、反射向量、点积用于漫反射和镜面高光。
• 物理模拟：速度、加速度、力的合成与分解。

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2. 图形学中的向量运算

(1) 点积（Dot Product）的应用

• 光照模型：计算光线与表面法线的夹角（Lambert漫反射）：
  $$I=\max (0,\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\cdot I_{\text{light}}$$
  $L为光线方向$，$N为法线$，$I_{\text{light}}为光强$
• 背面剔除：若视线向量(\mathbf{V})与法线(\mathbf{N})的点积(\mathbf{V} \cdot \mathbf{N} > 0)，则表面不可见。
• 投影计算：将向量投影到另一向量（如阴影生成）。

(2) 叉积（Cross Product）的应用

• 法向量计算：通过三角形两边的叉积求法线：
  $$\mathbf{N}=({\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_0)\times ({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_0)$$
• 坐标系构建：生成切线空间（TBN矩阵）用于法线贴图：
  $$\mathbf{T}=\text{切线},\mathbf{B}=\mathbf{N}\times \mathbf{T}$$

(3) 归一化（Normalization）

• 将向量转换为单位向量，确保方向计算不受长度影响：
  $$\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$$
  （关键用于光线方向、法线等）

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3. 向量在图形流水线中的角色

(1) 顶点处理

• 模型变换：通过矩阵乘法（如MVP矩阵）将顶点从模型空间转换到裁剪空间：
  $${\mathbf{v}}_{\text{clip}}=\mathbf{MVP}\cdot {\mathbf{v}}_{\text{model}}$$
• 法线变换：法线需用模型矩阵的逆转置矩阵变换，以保持垂直性：
  $${\mathbf{N}}_{\text{world}}=({\mathbf{M}}^{-1}{)}^{\top }\cdot {\mathbf{N}}_{\text{model}}$$

(2) 光照与着色

• Phong模型：结合环境光、漫反射（点积）、镜面反射（反射向量计算）：
  $$\mathbf{R}=2(\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\mathbf{N}-\mathbf{L}$$
• 半程向量（Blinn-Phong）：优化镜面高光计算：
  $$\mathbf{H}=\frac{\mathbf{L}+\mathbf{V}}{|\mathbf{L}+\mathbf{V}|}$$

(3) 屏幕空间操作

• 视口变换：将NDC坐标映射到屏幕像素坐标：
  $$\{\begin{array}{l}{x}_{\text{screen}}=(x_{\text{ndc}}+1)\cdot \frac{\text{width}}{2}\\ y_{\text{screen}}=(1-y_{\text{ndc}})\cdot \frac{\text{height}}{2}\end{array}$$

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4. 图形学特有问题与优化

(1) 精度问题

• 浮点误差：使用高精度浮点（如double）或误差容忍比较（如glm::epsilonEqual）。
• 归一化失效：零向量或极小向量的保护性处理：

  if (length(v) < 1e-6) discard;
  

(2) 向量插值

• 重心坐标插值：在三角形内插值顶点属性（颜色、UV、法线）：
  $$\mathbf{p}=\alpha {\mathbf{v}}_0+\beta {\mathbf{v}}_1+\gamma {\mathbf{v}}_2$$
• 透视校正插值：在投影空间中需除以深度（w分量）保证正确性。

(3) 性能优化

• SIMD指令：使用SSE/AVX加速向量运算（如Unity的Burst编译器）。
• 预计算向量：如预生成环境贴图的辐照度向量。

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5. 实际代码示例（GLSL/HLSL）

(1) 法线贴图解码

vec3 normal = texture(normalMap, uv).xyz * 2.0 - 1.0; // 从[0,1]映射到[-1,1]
normal = normalize(TBN * normal); // TBN为切线空间矩阵

(2) 反射光线计算

vec3 reflectDir = reflect(-lightDir, normal);
float specular = pow(max(dot(viewDir, reflectDir), 0.0), 32.0);

(3) 屏幕空间UV计算

vec2 screenUV = gl_FragCoord.xy / resolution;

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6. 扩展：向量在高级图形技术中的应用

• 光线追踪：光线方向向量与场景求交（如rayDir = normalize(target - origin)）。
• SDF（符号距离场）：利用向量计算点到表面的最短距离。
• 流体模拟：速度场（向量场）的平流与扩散。

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