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我们已经学习了如何用小批量随机梯度下降训练模型。然而当实现该算法时，我们只考虑了通过前向传播，所涉及的计算。在计算梯度时，我们只调用了深度学习框架提供的反向传播函数。而不知其所以然。

梯度的自动计算大大简化了深度学习算法的实现。在自动微分之前，即使是对复杂模型的微小调整也需要手动重新计算复杂的导数（特征），学术论文也不得不分配大量页面来推导更新规则。本节将铜鼓一些基本的数学和计算图，深入探讨反向传播的细节。首先，我们重点放在带权重衰减的单隐藏曾多层感知机上。

4.7.1 前向传播

前向传播指的是，按顺序计算和存储神经网络中每层的结果

。我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制，假设输入样本是X 属于R^2 并且隐藏层不包括偏置项，这里的中间变量是

z = W x

其中，W 属于R^hxd 是隐藏层的权重参数，将中间便利z属于R^2通过激活函数后，得到长度为h的隐藏层激活向量。

隐藏层激活向量h也是一个中间变量，假设输出层的参数只有权重W 属于R^hxd 我们可以得到输出层变量，是一个长度为q的向量。

o = Wh

假设损失函数为l，样本标签为y，我们可以计算单个数据样本的损失项。

L = l(o, y)

根据L2 正则化的定义，给定超参数lambda，正则化项为

其中，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数将是居住展平胃向量后应用的L2范数。最后，模型在给定数据样本的正则化损失为。

J = L + s

在下面的讨论中，我们将J称为目标函数。

4.7.2 向前传播计算图

绘制计算有助于我们可视化计算中运算符和变量的依赖关系，图4-4时与上述简单网络相对应的计算图，其中正方形表示变量，圆圈表示运算符，左下角表示输入，右上角表示输出，注意，展示数据流的箭头方向主药时向右和向上的。

4.7.3 反向传播

反向传播指的是计算神经网络参数梯度的方法，简而言之，该方法根据微积分中的链式法则，按相反的顺序输出层到输入层遍历网络。该算法存储了计算某些参数梯度时所需要的任何中间变量（偏导数）。假设我们有函数Y=f(X)和Z=g(Y)，其中输入和输出X,Y,Z是任意形状的张量，应用链式法则，我们可以计算Z关于X的导数。

在这里，我们使用prod运算符在执行必要的操作（如专职和交换输入位置）后将其参数相承。对于向量，这很简单，只是矩阵-矩阵乘法，对于高维张量，我们使用适当的对应项，运算符prod 指代所有的这些符号。

4.7.4 训练神经网络

在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖，对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算路径上的所有变量，然后将这些用于反向传播，其中的计算顺序与计算图的相反。

以上述简单网络为例，一方面，在前向传播期间计算的正则化项，取决于模型参数W和W的当前值，是由优化算法根据最近迭代的方向传播给出的。另一方面，反向传播期间参数的梯度计算，取决于由前向后传播给出的隐藏变量h的当前值。

因此，在训练神经网络时，初始化模型参数后，我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，

避免重复计算。