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wzjs 2025/9/22 0:41:46

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梯度下降算法推导过程

一、逻辑回归模型基础

逻辑回归用于二分类问题，其假设函数为sigmoid函数：

$h_{\theta}(x) = \sigma(\theta^T x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}}$

其中， $\theta$ 是模型参数向量， $x$ 是特征向量。输出 $h_{\theta}(x)$ 表示样本 $x$ 属于正类的概率。

二、损失函数

逻辑回归的损失函数采用 对数损失（交叉熵损失）：

$J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)} \log h_{\theta}(x^{(i)}) + (1 - y^{(i)}) \log (1 - h_{\theta}(x^{(i)})) \right]$

- $m$ ：样本数量

- $y^{(i)} \in \{0,1\}$ ：样本真实标签

- $h_{\theta}(x^{(i)})$ ：模型预测概率

三、梯度下降算法推导

梯度下降的目标是通过迭代更新参数 $\theta$ ，使损失函数 $J(\theta)$ 最小化。更新规则为：

$\theta_j := \theta_j - \alpha \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$ （对每个特征$j$）

其中， $\alpha$ 是学习率。

1. 计算梯度

对 $J(\theta)$ 求偏导：

**推导过程**：

1. 对单个样本的损失项求导：

$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left( h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)} \right) x_j^{(i)}$

$\frac{\partial}{\partial \theta_j} \left[ -y \log h + (1 - y) \log (1 - h) \right] = \frac{y}{h} \cdot \frac{\partial h}{\partial \theta_j} - \frac{1 - y}{1 - h} \cdot \frac{\partial h}{\partial \theta_j}$

2. 代入sigmoid函数导数

$\frac{\partial h}{\partial \theta_j} = h(1 - h) x_j$ ，

化简后得到：

单个样本损失 $\frac{\partial}{\partial \theta_j} = (h - y) x_j$

3. 对所有样本取平均，得到梯度。

2. 参数更新规则

结合梯度和学习率，参数更新公式为：

$\theta_j = \theta_j - \alpha \cdot \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left( h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)} \right) x_j^{(i)}$

四、梯度下降的变种简介

1. 批量梯度下降（BGD）

- 使用全部样本计算梯度 - 优点：收敛稳定 - 缺点：计算量大，内存占用高

2. 随机梯度下降（SGD）

- 每次随机选取一个样本更新参数

- 优点：计算速度快

- 缺点：梯度波动大，可能无法收敛到全局最优

3. 小批量梯度下降（Mini-Batch GD）

- 每次使用一小批样本（如32-256个）

- 平衡计算效率和收敛稳定性

五、关键细节

1. 学习率 $\alpha$ 的选择

- 过大：可能跳过最优解，导致发散

- 过小：收敛速度慢，易陷入局部最优

2. 特征缩放

- 对特征进行标准化（如Z-score），避免梯度下降震荡，加快收敛。

3. 收敛判断

- 当损失函数变化小于阈值（如 $10^{-5}$ ）时，停止迭代。

六、简单示例代码

import numpy as npdef sigmoid(z):"""计算 sigmoid 函数的值:param z: 输入值:return: sigmoid 函数的输出"""return 1 / (1 + np.exp(-z))def cost_function(X, y, theta):"""计算逻辑回归的代价函数:param X: 特征矩阵:param y: 标签向量:param theta: 参数向量:return: 代价函数的值"""m = len(y)h = sigmoid(np.dot(X, theta))cost = (-1 / m) * np.sum(y * np.log(h) + (1 - y) * np.log(1 - h))return costdef gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters):"""执行梯度下降算法来更新参数:param X: 特征矩阵:param y: 标签向量:param theta: 参数向量:param alpha: 学习率:param num_iters: 迭代次数:return: 更新后的参数向量和每次迭代的代价"""m = len(y)J_history = []for iter in range(num_iters):h = sigmoid(np.dot(X, theta))theta = theta - (alpha / m) * np.dot(X.T, (h - y))J_history.append(cost_function(X, y, theta))return theta, J_history# 示例数据
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(100, 2)
X = np.c_[np.ones((X.shape[0], 1)), X]
y = np.random.randint(0, 2, 100)# 初始化参数
theta = np.zeros(X.shape[1])# 设置超参数
alpha = 0.01
num_iters = 1000# 执行梯度下降
theta, J_history = gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters)print("最终参数 theta:", theta)

七、总结

逻辑回归的梯度下降通过最小化对数损失函数，迭代调整参数，使模型预测概率与真实标签尽可能接近。其核心是梯度的计算和参数更新规则，变种算法则根据数据规模和计算资源选择。

欠拟合和过拟合问题的原理

过拟合（Overfitting）

现象：模型把训练数据学 “过头” 了，记住了所有细节甚至噪声
表现：在训练集上准确率很高，但遇到新数据时表现大幅下降
类比：学生考试只背答案，遇到变形题就不会做
常见原因：
- 模型过于复杂（如深层神经网络）
- 训练数据量不足
- 特征过多但无实际关联
解决方法：
- 添加正则化（如 L1/L2 正则）
- 增加训练数据
- 使用交叉验证
- 早停法（训练时监控验证集效果）

欠拟合（Underfitting）

现象：模型没有充分捕捉数据中的规律
表现：在训练集上表现就很差
类比：学生完全没复习，考试连基础题都不会
常见原因：
- 模型过于简单（如线性模型处理非线性问题）
- 特征工程不足
- 训练数据存在严重偏差
解决方法：
- 增加模型复杂度（如使用多项式特征）
- 进行更深入的特征工程
- 调整超参数（如增加决策树深度）

对比表格

维度	过拟合	欠拟合
训练误差	低	高
测试误差	高	高
模型复杂度	高	低
偏差	低	高
方差	高	低

现实中的例子

过拟合：用深度神经网络拟合 20 个数据点，模型会记住每个数据点的噪声
欠拟合：用线性回归拟合正弦曲线数据，模型无法捕捉周期性变化

解决过拟合的三大方法

增加训练数据
- 原理：更多数据能帮助模型学习普遍规律，减少对噪声的过度拟合。
- 局限：实际场景中可能无法获取更多数据。
特征选择（减少特征数量）
- 操作：选择最相关的特征子集（如仅用房屋大小、卧室数量预测房价）。
- 缺点：可能丢失有用信息，且需人工判断特征相关性。
正则化（核心方法）
- 原理：通过惩罚参数大小（如 L2 正则化），限制特征的影响，避免模型过于复杂。
- 优势：保留所有特征但抑制其权重，平衡模型复杂度与泛化能力。
- 注意点：通常仅正则化权重参数（W），偏差参数（B）可不处理。