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1 置信域算法到TRPO

置信域算法核心：
找到更新参数$\theta$和${\theta }_{old}$相关的近似目标函数，邻域 $N({\theta }_{old})$内寻找最大值

1. 近似(approximation)：$L(\theta |{\theta }_{old})$

   1. 

2. 最大化(Maximation): ${\mathrm{argmax}}_{\theta \in N({\theta }_{old})}L(\theta |{\theta }_{old})$

   1. 

强化学习优化目标：1991 Dyna paper中就提出的agent的任务可以建模成奖励最大化问题（reward maximization）
$E_{\pi }[\tau (r)]=E_{\pi }[V^{\pi }(S)]={\sum }_{i=1}^A\pi (a_i|S;\theta )Q(S,a_i)$

1. 寻找$L(\theta |{\theta }_{old})$
   1. 等价替换${\sum }_{i=1}^A\pi (a_i|S;\theta )Q(S,a_i)={\sum }_{i=1}^A\pi (a_i|S;{\theta }_{old})\frac{\pi (a_i|S;\theta )}{\pi (a_i|S;{\theta }_{old})}Q(S,a_i)=E_{a\sim \pi (.|{\theta }_{old})}[\frac{\pi (a|S;\theta )}{\pi (a|S;{\theta }_{old})}Q(S,a)]$
   2. $L(\theta |{\theta }_{old})=E_{a\sim \pi (.|{\theta }_{old})}[\frac{\pi (a|S;\theta )}{\pi (a|S;{\theta }_{old})}Q(S,a)]\simeq E_{a\sim \pi (.|{\theta }_{old})}[\frac{\pi (a|S;\theta )}{\pi (a|S;{\theta }_{old})}{U}_t]$
   3. 蒙特卡洛近似 & $u_i$回报用优势$A_i$确保策略更新的方向是朝着提高预期回报的方向。
      1. $L(\theta |{\theta }_{old})\simeq \frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{\pi (a_i|s_i;\theta )}{\pi (a_i|s_i;{\theta }_{old})}{A}_i.....(TRPO-1)$
2. ${\mathrm{argmax}}_{\theta \in N({\theta }_{old})}L(\theta |{\theta }_{old})$
   1. 约束$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{D}_{KL}[\pi (.|s_i;{\theta }_{old})||\pi (.|s_i;\theta )]<\Delta .....(TRPO-2)$

2 TRPO到PPO

TRPO 使用泰勒展开近似、共轭梯度、线性搜索等方法直接求解。该方法计算量巨大，所以2017PPO paper发布， PPO 的优化目标与 TRPO 相同，但 PPO 用了一些相对简单的方法来求解

1. PPO-Penalty: 拉格朗日乘数法直接将 KL 散度的限制放进了目标函数中
   1. $L(\theta |{\theta }_{old})=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n[\frac{\pi (a_i|s_i;\theta )}{\pi (a_i|s_i;{\theta }_{old})}{A}_i+\beta D_{KL}[\pi (.|s_i;{\theta }_{old})||\pi (.|s_i;\theta )]]$
2. PPO-Clip : 在目标函数中进行限制，以保证新的参数和旧的参数的差距不会太大
   1. $L(\theta |{\theta }_{old})=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n[min(\frac{\pi (a_i|s_i;\theta )}{\pi (a_i|s_i;{\theta }_{old})}{A}_i,clip(\frac{\pi (a_i|s_i;\theta )}{\pi (a_i|s_i;{\theta }_{old})},1-ϵ,1+ϵ)A_i)]$

3 正向$D_{KL}$和反向$D_{KL}$

参考： 机器学习中的各种熵

我们可以看到上面的近似都是用的正向$D_{KL}(P||Q)$, P为真实分布，Q为预估分布。

• $D_{KL}[\pi (.|s_i;{\theta }_{old})||\pi (.|s_i;\theta )]$, 真实值$P=\pi (.|s_i;{\theta }_{old})$，预估值 $Q=\pi (.|s_i;\theta )$
• 期望预估尽量覆盖真实值

3.1 什么是$D_{KL}$

我们先来看下
$$D_{KL}(P||Q)=Plog(\frac{P}{Q})$$
表示的是什么。

1. 相对熵物理意义：求 p 与 q 之间的对数差$log(p/q)$在 p 上的期望值。
2. 是一种相对熵：是P,Q的交叉熵$H(P,Q)=-\sum plog(q)$与P自身的信息熵$H(P)=-\sum plog(p)$的差异
   1. $H(P,Q)-H(P)=-\sum plog(q)+\sum plog(p)=\sum p(log(p)-log(q))=\sum plog(\frac{p}{q})$
   2. 用分布p的最佳信息传递方式来传达分布p，比用分布p自己的最佳信息表达分布p，平均多耗费的信息长度
      1. 要传达的信息来自于分布 p
      2. 信息传递的方式由分布 q 决定的。

3.2 正向$D_{KL}$和反向$D_{KL}$

显然 $D_{KL}(P||Q)\ne D_{KL}(Q||P)$

import numpy as npp = np.array([0.5, 0.3, 0.2]) # 本周访问调查喜欢
q = np.array([0.2, 0.2, 0.6]) # 预估一周后喜欢d_forward_kl = (p * np.log(p/q)).sum()
d_reverse_kl = (q * np.log(q/p)).sum()
print(d_forward_kl, d_reverse_kl)
# (0.3600624406359049, 0.39481620520440186)

正向 KL 散度（Forward KL）

即使$D_{KL}(P||Q)$ 最小，用公式表示为：
$$q^{\star }=\underset{q}{\mathrm{argmin}}{D}_{KL}(p||q)=\underset{q}{\mathrm{argmin}}\sum _{x}p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}$$

正向KL散度, 是对数差在真实分布p上的期望。

• $p(x)=0$时，不论对数差是多少KL散度都是0
• $p(x)>0$时，对数差会对KL散度大小产生影响, 此时$q(x)$作为分母，要尽量大一些，才能保证 KL 散度小
• 即在 $p(x)$ 大的地方,想让KL小， $q(x)$ 也尽量大; 在 $p(x)$ 小的地方, $q(x)$ 对整体影响不大(因为 log 项本身分子很小，又乘了一个非常小的 $p(x)$)

综合上述，想要使得正向 KL 散度（Forward KL）最小，则要求在p不为0的地方，q也尽量不为0，所以正向 KL 散度被称为是 zero avoiding。此时得到的分布 q 是一个比较 宽 的分布。
更在意真实分布 p 中的常见事件

反向 KL 散度（Reverse KL）

即使$D_{KL}(Q||P)$ 最小，用公式表示为：
$$q^{\star }=\underset{q}{\mathrm{argmin}}{D}_{KL}(q||p)=\underset{q}{\mathrm{argmin}}\sum _{x}q(x)log\frac{q(x)}{p(x)}$$

反向 KL散度, 是对数差在真实分布q上的期望。

• $q(x)=0$时，不论对数差是多少KL散度都是0, 即我们完全可以忽略 $p(x)$
• $p(x)>0$时，必须得保证 $q(x)$ 在 $p(x)$ 小的地方也尽量小，才能使整体 KL 散度变小。

综合上述，想要使得反向 KL 散度（Reverse KL）最小，$p(x)$小的地方, 就需要$q(x)$的值也尽量小；在 $p(x)$大的地方，可以适当的忽略。
换一种说法，则要求在 p 为 0 的地方，q 也尽量为 0，所以反向 KL 散度被称为是 zero forcing。此时得到的分布 q 是一个比较 窄 的分布。
更在意真实分布 p 中的罕见事件

3.3 拟合test

Github: test KL Python

• 反向 KL 散度（Reverse KL）: $D_{KL}(Q||P)$更在意真实分布 p 中的罕见事件 (low p(x))
• 正向 KL 散度（Forward KL）: $D_{KL}(P||Q)$更在意真实分布 p 中的常见事件 (high p(x))