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GRPO in DeepSeekMath

GRPO 通过在生成组内进行比较来直接评估模型生成的响应，以优化策略模型，而不是训练单独的价值模型，这种方法显著降低了计算成本。GRPO 可以应用于任何可以确定响应正确性的可验证任务。例如，在数学推理中，可以通过将响应与基本事实进行比较来轻松验证响应的正确性。

The GRPO Algorithm

Step 1: Group Sampling

第一步是为每个问题生成多个可能的答案。这会产生一组可以相互比较的多样化输出。

• $q$ : question
• $G$ : group size
• ${\pi }_{{\theta }_{old}}$ : trained model(policy)
• { o 1 , o 2 , o 3 , . . . , o G ; π θ o l d } \{o_1, o_2, o_3, ... , o_G;\pi_{\theta_{old}}\} {o1​,o2​,o3​,...,oG​;πθold​​} : group outputs

Step 2: Advantage Calculation

一旦我们有多个响应(output)，我们就需要一种方法来确定哪些响应比其他响应更好，这就是优势计算。

1. 首先为每个响应输出分配一个奖励分数，可以使用奖励模型也可以使用奖励函数。例如：为每一个正确的输出分配一个奖励分数 1，错误的输出分配一个奖励 0。

2. 优势计算：

   A i = r i − mean ( { r 1 , r 2 , . . . , r G } ) std ( { r 1 , r 2 , . . . , r G } ) A_i = \frac{r_i - \text{mean}(\{r_1, r_2, ..., r_G\})}{\text{std}(\{r_1, r_2, ..., r_G\})} Ai​=std({r1​,r2​,...,rG​})ri​−mean({r1​,r2​,...,rG​})​

Step 3: Policy Update

$$J_{GRPO}(\theta )=\left[\frac{1}{G}\sum _{i=1}^G\text{min}\right(\frac{{\pi }_{\theta }(o_i|q)}{{\pi }_{{\theta }_{old}}(o_i|q)}{A}_i,\text{clip}(\frac{{\pi }_{\theta }(o_i|q)}{{\pi }_{{\theta }_{old}}(o_i|q)},1-ϵ,1+ϵ)A_i\left)\right]-\beta D_{KL}({\pi }_{\theta },{\pi }_{ref})$$

• $\frac{{\pi }_{\theta }(o_i|q)}{{\pi }_{{\theta }_{old}}(o_i|q)}$ : Probability Ratio，比较了新模型的响应概率与旧模型的响应概率的差异程度，同时纳入了对改善预期结果的响应的偏好，这个比率使我们能够控制模型在每个步骤中的变化量。
• $\text{clip}(\frac{{\pi }_{\theta }(o_i|q)}{{\pi }_{{\theta }_{old}}(o_i|q)},1-ϵ,1+ϵ)$ : Clip Function，将上述比率限制为[1−ε,1+ε][1−ε.1+ε]以避免剧烈的变化/更新，以及远离旧的模型。换句话说，它限制了概率比可以增加的程度，通过避免将新模型推得太远的更新来帮助保持稳定性。
• $\beta D_{KL}({\pi }_{\theta },{\pi }_{ref})={\sum }_{x\in X}P(x)\text{log}\frac{P(x)}{Q(x)}$ : KL Divergence，KL 散度被最小化，以防止模型在优化过程中偏离其原始行为太远。这有助于在根据奖励信号提高性能和保持连贯性之间取得平衡。在这种情况下，最小化 KL 散度可以降低模型生成无意义文本的风险，或者在数学推理的情况下，产生极其错误答案的风险。
• $\beta$ : 控制 KL 散度约束的强度：
  • higher $\beta$ : 模型更新限制更多，模型的输出仍然接近参考模型分布，难以探索更好的响应。
  • lower $\beta$ : 更自由的更新，存在不稳定风险，生成无意义的输出，可能会出现reward-hacking行为。
  • Original $\beta$ : 0.04(DeepSeekMath)

GRPO Example

问题： $Q:\text{Calculate}2+2\times 6$，$A=14$

Step 1: Group Sampling

$G=8$ , O = { o 1 : 14 , o 2 : 13 , o 3 : 11 , o 4 : 14 , o 5 : 14 , o 6 : 15 , o 7 : 14 , o 8 : 10 } O = \{o_1:14, o_2:13, o_3:11, o_4:14, o_5:14, o_6:15, o_7:14, o_8:10\} O={o1​:14,o2​:13,o3​:11,o4​:14,o5​:14,o6​:15,o7​:14,o8​:10}

Step 2: Advantage Calculation

R = { r 1 = 1 , r 2 = 0 , r 3 = 0 , r 4 = 1 , r 5 = 1 , r 6 = 0 , r 7 = 1 , r 8 = 0 } R = \{r_1 = 1, r_2 = 0, r_3 = 0, r_4 = 1, r_5 = 1, r_6=0, r_7=1, r_8 =0 \} R={r1​=1,r2​=0,r3​=0,r4​=1,r5​=1,r6​=0,r7​=1,r8​=0}

Statistic	Value
Group Average	$mean(r_i)=0.5$
Standard Deviation	$std(r_i)=0.53$
Advantage Value (Correct response)	$A_i=\frac{1-0.5}{0.53}=0.94$
Advantage Value (Wrong response)	$A_i=\frac{0-0.5}{0.53}=-0.94$

Step 3: Policy Update

假设：${\pi }_{{\theta }_{old}}=0.5$，${\pi }_{\theta }=0.7$ ，$ϵ=0.2$

$$\text{Probability Ratio}=\frac{0.7}{0.5}=1.4\text{ after Clip }\to 1.2$$

Summary

GRPO对于数学推理任务特别强大，因为在数学推理任务中，正确性可以得到客观验证。与需要单独奖励：模型的传统 RLHF 方法相比，GRPO 方法允许更高效的训练。

1. GRPO 比较一组内的多个输出，以确定哪些输出比其他输出更好，而无需单独的价值模型。
2. 优势计算对奖励进行标准化，以确定哪些响应高于或低于平均水平。
3. 策略更新使用带有 KL 发散惩罚的裁剪目标函数来确保稳定学习。