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同学们好！看来大家对"微积分基本公式"的理解还存在一些困惑，我会用更通俗的语言、更直观的例子重新梳理这部分内容，确保大家彻底掌握。我们从"积分上限函数"开始，一步步拆解核心概念。
一、先解决一个具体问题：如何用"简单方法"计算定积分？
问题：计算∫(0到1)x²dx（即曲线y=x²在[0,1]下与x轴围成的面积）。
如果用定积分的定义（黎曼和的极限），需要将区间[0,1]分成n等份，每份宽度Δx=1/n，取右端点xi=i/n（i=1,2,…,n），则黎曼和为：
Sₙ = Σ(i=1到n)(i/n)²·(1/n) = (1/n³)Σ(i=1到n)i²
利用求和公式Σi²=n(n+1)(2n+1)/6，代入得：
Sₙ = (n+1)(2n+1)/(6n²)
当n→∞时，Sₙ→1/3，所以∫(0到1)x²dx=1/3。
但这种方法太繁琐！我们需要更高效的方法——这就是"微积分基本公式"的价值。
二、积分上限函数：从"面积函数"到"原函数"
- 积分上限函数的定义
考虑f(t)=t²在[0,x]上的面积∫(0到x)t²dt。定义：
Φ(x)=∫(0到x)t²dt
这个Φ(x)就是积分上限函数（变上限积分）。
关键观察：
- x=0时，Φ(0)=0
- x=1时，Φ(1)=1/3
- x=2时，Φ(2)=8/3
- 积分上限函数的导数
计算Φ’(x)：
Φ’(x)=lim(Δx→0)[Φ(x+Δx)-Φ(x)]/Δx
= lim(Δx→0)[∫(x到x+Δx)t²dt]/Δx
根据积分中值定理，存在ξ∈(x,x+Δx)使得：
= lim(Δx→0)ξ² = x² = f(x)
结论：Φ’(x)=f(x)，即Φ(x)是f(x)的一个原函数！
三、微积分基本定理第一部分：原函数的存在性
定理：
若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)=∫(a到x)f(t)dt在[a,b]上可导，且Φ’(x)=f(x)。
即Φ(x)是f(x)的一个原函数。
四、微积分基本定理第二部分：牛顿-莱布尼茨公式
-
问题的转化
设F(x)是f(x)的任意原函数，则F(x)=Φ(x)+C。 -
定理陈述（牛顿-莱布尼茨公式）：
若f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)的原函数，则：
∫(a到b)f(x)dx = F(b)-F(a) -
直观解释
定积分值等于原函数在上下限处的差值。
五、用实例验证
例1：计算∫(0到1)x²dx
- F(x)=(1/3)x³
- F(1)-F(0)=1/3-0=1/3
例2：计算∫(-1到1)(2x+sinx)dx
- F(x)=x²-cosx
- F(1)-F(-1)=(1-cos1)-(1-cos1)=0
例3：计算∫(0到π/2)cosxdx
- F(x)=sinx
- F(π/2)-F(0)=1-0=1
六、常见误区与注意事项
-
原函数的唯一性
原函数可以相差常数，但F(b)-F(a)结果不变。 -
被积函数的连续性
要求f(x)在[a,b]上连续。若有间断点需分段积分。 -
积分变量的无关性
积分变量用什么符号不影响结果。
七、总结：微积分基本公式的核心逻辑
- 积分上限函数Φ(x)=∫(a到x)f(t)dt是f(x)的原函数
- 牛顿-莱布尼茨公式：∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)
八、课后练习
练习1：计算∫(1到4)√x dx
提示：F(x)=(2/3)x^(3/2)，结果14/3
练习2：计算∫(0到π)sinx dx
提示：F(x)=-cosx，结果2
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