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wzjs 2025/9/21 10:22:10

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【模糊集合】隶属函数、关系与运算

例1

设 $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\}$ ， $\underset{\sim}A,\underset{\sim}B\in\mathcal{F}(X)$

$\underset{\sim}A={\frac{0.4}{x_{1}}}+{\frac{0.6}{x_{2}}}+{\frac{1}{x_{3}}}+{\frac{0.6}{x_{4}}}+{\frac{0.4}{x_{5}}},\ \underset{\sim}B={\frac{0.2}{x_{2}}}+{\frac{0.8}{x_{3}}}+{\frac{0.2}{x_{4}}}.$

分别进行交、并、补运算，有：

由 $X$ 上模糊集合的全体组成的集合称为 $X$ 的模糊幂集，记为 $\mathcal{F}(X)$ ，fuzzy

$\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}B=\frac{0.2}{x_{2}}+\frac{0.8}{x_{3}}+\frac{0.2}{x_{4}}$

$\underset{\sim}A\cup \underset{\sim}B=\frac{0.4}{x_{1}}+\frac{0.6}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\frac{0.6}{x_{4}}+\frac{0.4}{x_{5}}$

$\underset{\sim}A^{c}=\frac{0.6}{x_{1}}+\frac{0.4}{x_{2}}+\frac{0.4}{x_{4}}+\frac{0.6}{x_{5}}$

$\underset{\sim}B^{c}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{0.8}{x_{2}}+\frac{0.2}{x_{3}}+\frac{0.8}{x_{4}}+\frac{1}{x_{5}}$

上述为模糊集合的Zadeh记法，其中的“+”号不表示分式求和，仅作为一种记号， $\frac{\mu_{\underset{\sim}{A}}(x_i)}{x_i}$ 表示 ${x_i}$ 对 $\underset{\sim}{A}$ 的隶属度为 ${\mu_{\underset{\sim}{A}}(x_i)}$

交、并、补运算实际上是分别对隶属度取下确界、上确界和余。例如 $x_1$ 对 $\underset{\sim}A,\underset{\sim}B$ 的隶属度分别为0.4、0，交运算取下确界0，故 $x_1$ 对 $\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}B$ 的隶属度为0。

例2

设 $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\}$ ， $\underset{\sim}A,\underset{\sim}B\in\mathcal{F}(X)$

$\underset{\sim}A={\frac{0.4}{x_{1}}}+{\frac{0.6}{x_{2}}}+{\frac{1}{x_{3}}}+{\frac{0.6}{x_{4}}}+{\frac{0.4}{x_{5}}},\ \underset{\sim}B={\frac{0.2}{x_{2}}}+{\frac{0.8}{x_{3}}}+{\frac{0.2}{x_{4}}}.$

有：

$(\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}B)^{c}={\frac{1}{x_{1}}}+{\frac{0.8}{x_{2}}}+{\frac{0.2}{x_{3}}}+{\frac{0.8}{x_{4}}}+{\frac{1}{x_{5}}}$