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网站项目设计具体方案云奇网站建设

wzjs 2025/9/21 9:07:23

网站项目设计具体方案,云奇网站建设,商务网络设计实验报告,英文网站建设潍坊一、前言在面对二维区间统计问题时，比如： 查询某个一维区间中，大于某个值的数的个数对一个序列同时支持区间查询单点修改我们常用的一维数据结构（如线段树、树状数组）往往显得力不从心。此时，我们可…

一、前言

在面对二维区间统计问题时，比如：

查询某个一维区间中，大于某个值的数的个数
对一个序列同时支持区间查询 + 单点修改

我们常用的一维数据结构（如线段树、树状数组）往往显得力不从心。此时，我们可以考虑一种高效的数据结构组合：树套树。

二、什么是树套树？

“树套树”顾名思义，就是一棵树中的每个节点再套一棵树。

最常见的树套树结构是：

外层：线段树/树状数组，按照下标维护区间
内层：平衡树（如 STL multiset 或手写 Treap/Splay）维护该区间内的值集合

通过树套树，可以实现如下操作：

单点修改某个值
查询区间中小于/大于某值的数的个数
查询区间第 $k$ 小数值（需平衡树）

三、典型问题：二维数点问题

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，支持以下操作：

修改某个位置的值
查询某个区间 $[l, r]$ 内，**有多少个数大于 $k$

例如：

a = [1, 5, 2, 4, 3]查询 (l=2, r=4, k=2)：返回 2（即 5 和 4）

四、树套树实现思路

1. 外层线段树（按下标划分）

我们构建一棵线段树，每个节点维护一个子区间 $[l, r]$ 对应的数值集合（支持动态插入和删除）。

2. 内层平衡树（或 multiset）

每个线段树节点用一个 multiset 保存该区间内所有数值，并支持：

插入 / 删除某个值（用于修改操作）
查询大于某个值的个数（用 upper_bound 实现）

五、代码实现（C++）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int a[N];struct SegmentTree {int l, r;multiset<int> s;SegmentTree* left = nullptr;SegmentTree* right = nullptr;SegmentTree(int l, int r): l(l), r(r) {if (l == r) {s.insert(a[l]);} else {int m = (l + r) / 2;left = new SegmentTree(l, m);right = new SegmentTree(m + 1, r);s.insert(left->s.begin(), left->s.end());s.insert(right->s.begin(), right->s.end());}}void update(int pos, int old_val, int new_val) {s.erase(s.find(old_val));s.insert(new_val);if (l == r) return;int m = (l + r) / 2;if (pos <= m) left->update(pos, old_val, new_val);else right->update(pos, old_val, new_val);}int query(int ql, int qr, int k) {if (qr < l || r < ql) return 0;if (ql <= l && r <= qr) {return s.end() - s.upper_bound(k);}return left->query(ql, qr, k) + right->query(ql, qr, k);}
};

使用方式

int main() {int n, q;cin >> n >> q;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];SegmentTree* root = new SegmentTree(1, n);while (q--) {string op;cin >> op;if (op == "Q") {int l, r, k;cin >> l >> r >> k;cout << root->query(l, r, k) << '\n';} else if (op == "M") {int x, v;cin >> x >> v;root->update(x, a[x], v);a[x] = v;}}
}