网站开发流程莆田建设网站有几种渠道

问题陈述

为什么行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零？即：

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}=0(i\ne j)$$

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{C}_{kj}=0(i\ne j)$$

直观理解

这个性质的核心是行列式的行（列）线性相关性。具体来说：

• 行列式中的每一行（列）可以看作其他行（列）的线性组合时，行列式的值为零。
• 当我们用某一行（列）的元素乘以另一行（列）的代数余子式时，实际上在计算一个类似行列式的表达式，但其中两行（列）是相同的，因此结果必然为零。

严格证明

步骤 1：构造辅助矩阵

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。我们构造一个新矩阵 $B$，其中：

• $B$ 的第 $j$ 行替换为 $A$ 的第 $i$ 行（即 $b_{jk}=a_{ik}$）。
• 其他行与 $A$ 相同。

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\leftarrow \text{第 }i\text{ 行}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\leftarrow \text{第 }j\text{ 行（与第 }i\text{ 行相同）}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

由于 $B$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 行相同，所以 $\det (B)=0$。

步骤 2：按第 $j$ 行展开 $\det (B)$

行列式可以按任意一行展开。我们按 $B$ 的第 $j$ 行展开：

$$\det (B)=\sum _{k=1}^n{b}_{jk}{C}_{jk}^B$$

其中 $C_{jk}^B$ 是 $B$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列的代数余子式。

因为 $B$ 的第 $j$ 行就是 $A$ 的第 $i$ 行，所以 $b_{jk}=a_{ik}$。

此外，$C_{jk}^B$ 是删除 $B$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列后的子矩阵的行列式乘以符号因子。由于 $B$ 和 $A$ 只有第 $j$ 行不同，而删除第 $j$ 行后，$B$ 的子矩阵与 $A$ 的子矩阵相同，因此 $C_{jk}^B=C_{jk}$，其中 $C_{jk}$ 是 $A$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列的代数余子式。

因此，

$$\det (B)=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}$$

步骤 3：结合 $\det (B)=0$

由于 $\det (B)=0$，所以

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{C}_{jk}=0(i\ne j)$$

几何解释

行列式的几何意义是矩阵所表示的线性变换对体积的缩放因子。
如果矩阵的两行（列）线性相关（比如完全相同），那么变换后的空间会被“压扁”到一个低维空间，体积变为 0。因此，行列式为 0。

当我们用一行（列）的元素乘以另一行（列）的代数余子式时，相当于在计算一个行列式，其中两行（列）是相同的（或成比例的），因此结果必然为 0。

例子验证

考虑矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

验证：

$$\sum _{k=1}^3{a}_{1k}{C}_{2k}=a_{11}{C}_{21}+a_{12}{C}_{22}+a_{13}{C}_{23}$$

计算代数余子式 $C_{21},C_{22},C_{23}$，然后进行求和，验证结果为零。

总结

• 原因：行列式的某一行（列）与另一行（列）的代数余子式相乘求和，相当于计算一个“伪行列式”，其中两行（列）相同，因此结果为零。
• 应用：这一性质在伴随矩阵、逆矩阵和 Cramer 法则中非常重要。
• 几何意义：线性相关的行（列）导致空间“坍缩”，行列式为零。