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差分自回归移动平均模型（ARIMA）

1. 模型组成

ARIMA模型结合了 自回归（AR）、差分（I） 和 移动平均（MA） 三种方法，用于分析和预测非平稳时间序列数据。

(1) 自回归（AR）

• 定义：利用时间序列自身的滞后值预测当前值。
• 公式：
  $$Y_t=c+{\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\varphi }_2{Y}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{Y}_{t-p}+{ϵ}_t$$
  • $Y_t$: 当前时刻值。
  • ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_p$: 自回归系数。
  • $p$: 自回归阶数（AR阶数）。
  • ${ϵ}_t$: 白噪声误差项。

(2) 差分（I）

• 定义：对原始序列进行差分，消除趋势和季节性，使其平稳。
• 公式：
  $${\Delta }^d{Y}_t=Y_t-Y_{t-d}$$
  • ( d ): 差分阶数（如一阶差分 ( d=1 )）。

(3) 移动平均（MA）

• 定义：利用历史误差修正当前预测值。
• 公式：
  $$Y_t=\mu +{ϵ}_t+{\theta }_1{ϵ}_{t-1}+{\theta }_2{ϵ}_{t-2}+\cdots +{\theta }_q{ϵ}_{t-q}$$
  • ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_q$: 移动平均系数。
  • $q$: 移动平均阶数（MA阶数）。

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2. ARIMA模型的完整形式

• 数学表达式：
  $$\text{ARIMA}(p,d,q)$$
  • $p$: 自回归阶数（AR项数）。
  • $d$: 差分阶数。
  • $q$: 移动平均阶数（MA项数）。

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3. 核心步骤

(1) 平稳性检验

• 方法：
  • 时序图观察：判断是否存在趋势或季节性。
  • 单位根检验：如 ADF 检验（存在单位根则非平稳）。

(2) 差分处理

• 步骤：
  1. 对非平稳序列进行差分（如一阶差分 ( d=1 )）。
  2. 重复差分直到序列平稳。

(3) 模型识别与参数选择

• 工具：
  • 自相关函数（ACF）：显示序列与滞后项的相关性。
  • 偏自相关函数（PACF）：显示序列与滞后项的直接相关性。
• 参数选择：
  • 若 PACF 在滞后 ( p ) 截尾且 ACF 拖尾 → 选择 AR§。
  • 若 ACF 在滞后 ( q ) 截尾且 PACF 拖尾 → 选择 MA(q)。
  • 若 ACF/PACF 均拖尾 → 结合 AIC/BIC 选择 ( p, q )。

(4) 模型拟合与诊断

• 残差诊断：
  • 残差应为白噪声（无自相关）。
  • 检验方法：Ljung-Box 检验或观察残差 ACF/PACF。

(5) 预测与评估

• 评估指标：MAE、RMSE、MAPE。

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4. 应用场景

• 经济预测：GDP、股票价格、税收。
• 销售预测：商品销量、库存管理。
• 能源与气象：电力需求、气温预测。
• 工程与运维：设备故障预测、网络流量分析。

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5. 局限性

• 依赖平稳性：需通过差分处理非平稳序列。
• 线性假设：对复杂非线性问题效果有限。
• 参数敏感：( p, d, q ) 的选择依赖经验。

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6. 示例：ARIMA建模流程

1. 平稳性检验：通过 ADF 检验确认非平稳。
2. 差分处理：一阶差分后序列平稳。
3. ACF/PACF 分析：选择 ( p=0, q=2 )。
4. 拟合模型：构建 ARIMA(0,1,2)。
5. 预测：预测未来 6 个月销量并评估误差。

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7. 相关模型对比

模型	特点	适用场景
ARMA	( d=0 )，仅适用于平稳序列	平稳时间序列
SARIMA	扩展 ARIMA，加入季节性差分	具有季节性的序列
LSTM	深度学习模型，捕捉非线性关系	复杂非线性时间序列

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总结

ARIMA 是时间序列预测的经典工具，通过差分消除趋势/季节性，结合 AR 和 MA 捕捉数据规律。适用于线性趋势明显的短期预测，但对复杂非线性问题需结合其他模型（如 LSTM）或优化算法（如鲸鱼优化算法）提升精度。

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