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🚀 用动态规划实现正则表达式匹配：支持 . 和 *
在这篇文章中，我们将深入探讨如何实现一个正则表达式匹配引擎，支持两个基础通配符：
.：匹配任意一个字符*：匹配零个或多个前面的字符
该问题是 LeetCode 上的经典题目，也常出现在算法面试中。我们将重点分析动态规划的解法，比较不同方法的优劣，并分析时间复杂度与空间复杂度。
🧩 问题描述
给定一个字符串 s 和一个字符模式 p，实现一个函数来匹配它们。支持以下规则：
.匹配任意一个字符；*匹配零个或多个前面的字符。
⚠️ 注意：匹配必须覆盖整个字符串，而不是部分匹配。
🧠 解题思路
这是一个典型的动态规划（DP）问题，满足：
- 最优子结构：一个大问题的解可以通过子问题的解推导出来。
- 子问题重叠：很多状态会重复出现，比如重复处理同样前缀。
- 无后效性：状态转移只依赖当前状态，不依赖“历史路径”。
我们使用一个二维布尔数组 dp[i][j] 来表示：
字符串
s的前i个字符s[0..<i]是否匹配模式p的前j个字符p[0..<j]
✅ 动态规划解法（Swift 实现）
func isMatch(_ s: String, _ p: String) -> Bool {let sChars = Array(s), pChars = Array(p)let m = sChars.count, n = pChars.countvar dp = Array(repeating: Array(repeating: false, count: n + 1), count: m + 1)dp[0][0] = true // 空串匹配空模式// 初始化：空串与形如 a*, a*b*, a*b*c* 这样的模式匹配for j in 1...n {if pChars[j - 1] == "*" && j >= 2 {dp[0][j] = dp[0][j - 2]}}for i in 1...m {for j in 1...n {if pChars[j - 1] == "." || pChars[j - 1] == sChars[i - 1] {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]} else if pChars[j - 1] == "*" {// 1. 看作前一个字符重复0次dp[i][j] = dp[i][j - 2]// 2. 看作前一个字符重复 >=1 次if pChars[j - 2] == "." || pChars[j - 2] == sChars[i - 1] {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j]}}}}return dp[m][n]
}
🧮 时间复杂度与空间复杂度
| 指标 | 复杂度 |
|---|---|
| 时间复杂度 | O(m × n) |
| 空间复杂度 | O(m × n) |
其中 m 是字符串 s 的长度，n 是模式 p 的长度。我们用一个二维数组记录了所有子状态。
可以进一步优化空间复杂度为 O(n) 使用滚动数组（只保留前一行），但实现会复杂一些。
🧪 示例
isMatch("aa", "a") // false
isMatch("aa", "a*") // true
isMatch("ab", ".*") // true
isMatch("aab", "c*a*b") // true
isMatch("mississippi", "mis*is*p*.") // false
🚫 其他方法对比
1. 递归（暴力法）
思路：每遇到 * 时考虑多个递归分支。简单直观，但效率低。
func isMatch(_ s: String, _ p: String) -> Bool {if p.isEmpty { return s.isEmpty }let firstMatch = !s.isEmpty && (s.first == p.first || p.first == ".")if p.count >= 2 && p[p.index(p.startIndex, offsetBy: 1)] == "*" {return isMatch(s, String(p.dropFirst(2))) || (firstMatch && isMatch(String(s.dropFirst()), p))} else {return firstMatch && isMatch(String(s.dropFirst()), String(p.dropFirst()))}
}
- ✅ 简洁，但容易爆栈
- ❌ 时间复杂度指数级 O(2^(m+n))
2. 正则表达式库（逃避法）
Swift 提供了 NSRegularExpression，但题目要求自己实现匹配逻辑，不能用现成库。
✅ 总结
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 是否推荐 |
|---|---|---|---|
| 递归 | O(2^(m+n)) | O(m+n) | ❌ |
| 动态规划 | O(m × n) | O(m × n) | ✅ |
| 动态规划（优化） | O(m × n) | O(n) | ✅ （进阶） |
| 正则库调用 | — | — | ❌（不符合题意） |
📌 总结一句话
动态规划是解决字符串匹配类问题最稳定的武器，核心在于定义合理的状态和转移关系，写对了就赢了！
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