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1 题目：不同的二叉搜索树

官方标定难度：中

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

1 <= n <= 19

2 solution

根据根节点进行分类，n 个节点的二叉搜索树有 $d{p}_n$ 个，则有

$$d{p}_n=\sum _{i=0}^{n-1}d{p}_i\ast d{p}_{n-i-1}$$

所以直接递推即可

代码

class Solution {
public:
int numTrees(int n) {int dp[n + 1];dp[0] = dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){dp[i] = 0;for(int l = 0; l < i; l++){dp[i] += dp[l] * dp[i - l - 1];}}return dp[n];
}
};

结果

3 进阶

这其实就是卡特兰数，有更简单的地推公式。

$$d{p}_n=d{p}_{n-1}\cdot \frac{4\ast n-2}{i+1}$$

代码

class Solution {/**  C(n) = c(2n, n) - c(2n, n-1) = n+2...2n / n!*  C(n) / C(n - 1) = (4n-2) / (n+1)*  C(1) = 1*/
public:int numTrees(int n) {int s = 1; //for (int i = 2; i <= n; i++) {s = 1ll * s * (4 * i - 2) / (i + 1);}return s;}
};

结果