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统计学基础知识 第三章 参数估计

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第一节 统计量与抽样分布

1.1 总体参数与统计量

• 总体参数：描述总体特征的未知量（如均值 $\mu$、方差 ${\sigma }^2$、比例 $\pi$）。
• 统计量：由样本数据计算的量（如样本均值 $\bar{x}$、样本方差 $s^2$、样本比例 $p$），是随机变量。

1.2 点估计的评价标准

标准	定义	数学表达
无偏性	估计量的期望等于总体参数	$E(\hat{\theta })=\theta$ 例：$E(\bar{x})=\mu$，$E(s^2)={\sigma }^2$
有效性	方差更小的无偏估计量更有效	$\text{Var}({\hat{\theta }}_1)<\text{Var}({\hat{\theta }}_2)$
一致性	样本量增大时，估计量趋近于总体参数

${\lim }_{n\to \infty }P\left(|\hat{\theta }-\theta |<ϵ\right)=1$

1.3 样本均值的抽样分布

• 重复抽样：样本均值 $\bar{x}$ 的方差为：
  $${\sigma }_{\bar{x}}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$$
• 不重复抽样：方差修正为：
  $${\sigma }_{\bar{x}}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}\cdot \frac{N-n}{N-1}$$
• 中心极限定理：当 $n\ge 30$ 时，无论总体分布如何：
  $$\bar{x}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$
• 正态总体：若总体服从 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则：
  $$\bar{x}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

1.4 样本比例的抽样分布

• 总体比例 $\pi$：具有某属性的单位占比。
• 样本比例 $p$：当 $np\ge 5$ 且 $n(1-p)\ge 5$ 时：
  $$p\sim N\left(\pi ,\frac{\pi (1-\pi )}{n}\right)$$
• 不重复抽样：方差修正为：
  $${\sigma }_p^2=\frac{\pi (1-\pi )}{n}\cdot \frac{N-n}{N-1}$$

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第二节 区间估计

2.1 基本原理

• 置信区间：由样本统计量加减估计误差得到，置信水平 $1-\alpha$ 表示区间包含总体参数的概率。
• 公式通用形式：
  $$\left(\text{统计量}\pm \text{分位数值}\times \text{标准误差}\right)$$

2.2 单个总体参数的区间估计

（一）均值的区间估计

条件	公式
大样本（$n\ge 30$，$\sigma$ 已知）	$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$
大样本（$\sigma$ 未知）	$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$
小样本（$\sigma$ 未知，正态总体）	$$\bar{x}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

（二）比例的区间估计

$$p\pm z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}(\text{需满足 }np\ge 5,n(1-p)\ge 5)$$

2.3 两个总体参数的区间估计

（一）均值之差（独立样本）

• 大样本：
  $$({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)\pm z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$
• 小样本（方差齐性）：
  $$({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)\pm t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)\cdot s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$
  其中：
  $$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

（二）比例之差

$$(p_1-p_2)\pm z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$

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第三节 样本量的确定

3.1 影响因素

因素	影响
总体标准差 $\sigma$	$\sigma \uparrow \Rightarrow n\uparrow$
最大允许误差 $E$	$E\uparrow \Rightarrow n\downarrow$
置信水平 $1-\alpha$	$1-\alpha \uparrow \Rightarrow n\uparrow$
抽样方式	不重复抽样所需样本量更小

3.2 计算公式

（一）估计总体均值

• 重复抽样：
  $$n=\frac{(z_{\alpha /2}{)}^2{\sigma }^2}{E^2}$$
• 不重复抽样：
  $$n^{\ast }=\frac{n}{1+\frac{n}{N}}$$

（二）估计总体比例

• 重复抽样：
  $$n=\frac{(z_{\alpha /2}{)}^2\pi (1-\pi )}{E^2}(\pi \text{ 未知时取 }\pi =0.5)$$

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经典例题解析

例题1：样本量计算

• 题目：估计居民旅游费用（$\sigma =1000$，$E=100$，置信水平 95%），求样本量。
• 解析：
  $$n=\frac{(1.96{)}^2\cdot 1000^2}{100^2}\approx 385$$

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总结

1. 区间估计核心：用样本统计量构建包含总体参数的区间，置信水平反映区间可靠性。
2. 样本量权衡：精度（误差 $E$）与成本（样本量 $n$）需平衡。
3. 分布选择：大样本用正态分布，小样本用 $t$ 分布，比例问题用二项近似正态。