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引言
偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是科学和工程领域中描述复杂物理现象的核心工具，广泛应用于流体力学、热传导、量子力学和金融数学等领域。然而，求解PDEs，尤其是高维PDEs，面临“维度诅咒”（curse of dimensionality），即计算成本随维度增加呈指数级增长。传统数值方法，如有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和谱方法，虽然在低维问题中表现良好，但在高维情况下往往效率低下。
近年来，深度学习（Deep Learning）因其在图像识别和自然语言处理等领域的成功，吸引了研究者将其应用于PDEs求解。深度学习模型通过强大的函数逼近能力，可以直接学习PDEs的解或解算子，绕过传统方法对网格的依赖。本文将深入探讨深度学习模型在PDEs求解中的实际应用，重点介绍物理信息神经网络（PINNs）、深度BSDE方法和傅里叶神经算子（FNO），并提供可运行的代码示例。我们还将讨论这些方法的优势、局限性以及未来发展方向。
本文面向具有一定深度学习基础的读者，假设读者熟悉神经网络的基本概念（如前向传播、反向传播）。通过理论分析、案例研究和代码实现，读者将能够掌握这些方法并在实际问题中应用。