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⾼精度
当数据的值特别⼤，各种类型都存不下的时候，此时就要⽤⾼精度算法来计算加减乘除：
- 先⽤字符串读⼊这个数，然后⽤数组逆序存储该数的每⼀位；
- 利⽤数组，模拟加减乘除运算的过程。
⾼精度算法本质上还是模拟算法，⽤代码模拟⼩学列竖式计算加减乘除的过程。
一、⾼精度加法
题⽬来源：洛⾕
题⽬链接：P1601 A+B Problem（高精） - 洛谷
难度系数：★
1. 题目描述
2. 算法原理
模拟⼩学「列竖式」计算「两数相加」的过程。
1. ⽤字符串读⼊数据；
2. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；
假设输入字符串“439”，通过x[i] - '0'转换成数字439，通过画图得出规律：一个数字在两个数组的代码下标和为n-1-i。
3. 模拟列竖式计算的过程：
- a. 对应位累加；
- b. 处理进位；
- c. 处理余数。
4. 处理结果的位数。
3. 参考代码
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;// 高精度加法的模版 - c = a + b;
void add(int c[], int a[], int b[])
{for(int i = 0; i < lc; i++){c[i] += a[i] + b[i]; // 对应位相加，再加上进位c[i + 1] += c[i] / 10; // 处理进位c[i] %= 10; // 处理余数}if(c[lc]) lc++;
}int main()
{string x, y; cin >> x >> y;// 1. 拆分每一位，逆序放在数组中la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0';// 2. 模拟加法的过程add(c, a, b); // c = a + b// 输出结果for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}二、⾼精度减法
题⽬来源：洛⾕
题⽬链接：P2142 高精度减法 - 洛谷
难度系数：★
1. 题目描述
2. 算法原理
模拟⼩学「列竖式」计算「两数相减」的过程。
1. ⽤字符串读⼊数据；
2. 判断两个数的⼤⼩，让较⼤的数在前。注意字典序vs数的⼤⼩：
- a. 位数相等：按字典序⽐较；
- b. 位数不等：按照字符串的⻓度⽐较。
注意：字符串比较大小先看第一位
3. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；
4. 模拟列竖式计算的过程：
- a. 对应位相减求差；
- b. 处理借位（如果减的结果小于0往前借一位，然后这一位加上10）；
5. 处理前导零。
如997-996 ，结果为001去掉多余的两个0，当结果为000时，结果取0
3.参考代码
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;// 比大小
bool cmp(string& x, string& y)
{// 先比较长度if(x.size() != y.size()) return x.size() < y.size();// 再按照 字典序 的方式比较return x < y;
}// 高精度减法的模板 - c = a - b
void sub(int c[], int a[], int b[])
{for(int i = 0; i < lc; i++){c[i] += a[i] - b[i]; // 对应位相减，然后处理借位if(c[i] < 0){c[i + 1] -= 1; // 借位c[i] += 10;}}// 处理前导零while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}int main()
{string x, y; cin >> x >> y;// 比大小if(cmp(x, y)){swap(x, y);cout << '-';}// 1. 拆分每一位，然后逆序放在数组中la = x.size(); lb = y.size(); lc = max(la, lb);for(int i = 0; i < la; i++) a[la - i - 1] = x[i] - '0';for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - i - 1] = y[i] - '0';// 2. 模拟减法的过程sub(c, a, b); // c = a - b// 输出结果for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}三、⾼精度乘法
题⽬来源：洛⾕
题⽬链接：P1303 A*B Problem - 洛谷
难度系数：★
1. 题目描述
2. 算法原理
1. ⽤字符串读⼊数据；
2. 将字符串的每⼀位拆分，逆序放在数组中；
3. 模拟⽆进位相乘再相加的过程：
- a. 对应位求乘积；
- b. 乘完之后处理进位；
- c. 处理余数；
4. 处理前导零。
⽆进位相乘再相加：
- 还是「列竖式」，但是每⼀位相乘的时候不考虑进位，直接把乘的结果放在对应位上；
- 等到所有对应位置「乘完」并且「累加完」之后，「统⼀处理进位」。
如下图所⽰：
注意：与高精度加法、减法不同的是两个数（x，y）相乘最多会出现(x+y)位数 ，如最大的两位数99与最大的三位数999相乘的值为五位数98901。
3. 参考代码
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int a[N], b[N], c[N];
int la, lb, lc;// 高精度乘法的模版 - c = a * b
void mul(int c[], int a[], int b[])
{// 无进位相乘,然后相加for(int i = 0; i < la; i++){for(int j = 0; j < lb; j++){c[i + j] += a[i] * b[j];}}// 处理进位for(int i = 0; i < lc; i++){c[i + 1] += c[i] / 10;c[i] %= 10;}// 处理前导零while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}int main()
{string x, y; cin >> x >> y;// 1. 拆分每一位，逆序放在数组中la = x.size(); lb = y.size(); lc = la + lb;for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';for(int i = 0; i < lb; i++) b[lb - 1 - i] = y[i] - '0';// 2. 模拟乘法的过程mul(c, a, b); // c = a * b// 输出结果for(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}四、⾼精度除法
题⽬来源：洛⾕
题⽬链接：P1480 A/B Problem - 洛谷
难度系数：★
1. 题目描述
2. 算法原理
模拟⼩学「列竖式」计算「两数相除」的过程（注意，我们这⾥是「⾼精度÷低精度」）。
定义⼀个指针 i 从「⾼位」遍历被除数，⼀个变量 t 标记当前「被除的数」，记除数是 b；
- 更新⼀个当前被除的数 t =t×10+a[i] ；
- t/b表⽰这⼀位的商，t%b表⽰这⼀位的余数；
- ⽤ t 记录这⼀次的余数，遍历到下⼀位的时候重复上⾯的过程
被除数遍历完毕之后，t ⾥⾯存的就是余数，但是商可能存在前导 0 ，注意清空。
3. 参考代码
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e6 + 10;typedef long long LL;int a[N], b, c[N];
int la, lc;// 高精度除法的模板 - c = a / b （高精度 / 低精度）
void sub(int c[], int a[], int b)
{LL t = 0; // 标记每次除完之后的余数for(int i = la - 1; i >= 0; i--){// 计算当前的被除数t = t * 10 + a[i];c[i] = t / b;t %= b;}// 处理前导 0while(lc > 1 && c[lc - 1] == 0) lc--;
}int main()
{string x; cin >> x >> b;la = x.size();for(int i = 0; i < la; i++) a[la - 1 - i] = x[i] - '0';// 模拟除法的过程lc = la;sub(c, a, b); // c = a / bfor(int i = lc - 1; i >= 0; i--) cout << c[i];return 0;
}