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一、题目链接

有效三角形的个数

二、题目

三、算法原理

1、判断是否是三角形的方法

常规方法：三条边分别是a、b、c，要同时满足a + b > c、a + c > b、b + c > a才能构成三角形，但是要判断三次。

优化方法：仅需判断一次。已知三条边的大小顺序a <= b <= c（说明要提前对数组里的数据排好序），只要两个较小边之和大于最大一条边c就能构成三角形：a + b > c。优化后的方法相较于上面的普通方法少判断了a + c > b、b + c > a，不用判断的理由是c已经是最大边了，肯定有c >= a、c >= b，这样c再加上a肯定大于b，同理，c再加上b肯定大于a。

2、解法

解法一：暴力枚举。

三层for循环分别固定三个数。（伪代码：看懂就行，只是个思路，不能作为最终代码提交。）

若选择常规方法判断是否是三角形，时间复杂度是O(3n^3)，前面的3表示判断三次；若选择优化方法判断是否是三角形，先对数组排好序，时间复杂度是O(nlogn + n^3)（nlogn是排序算法的时间复杂度，因为只需判断一次，所以是n^3）。提升点1：3n^3 > nlogn + n^3，优化方法对暴力枚举的时间复杂度提升非常大。

提升点2：优化后，数组已经有序，可以利用已经有序的单调性作很多的优化。

解法二：利用单调性，使用双指针算法来解决问题。

步骤：

1. 数组已有序（升序），固定最大数c
2. 在最大数c的左区间内，使用双指针算法，快速统计出符合要求的三元组的个数
3. 情况1：a + b > c，right - left，right - -。情况2：a + b <= c，left++

分析过程：

数组已有序（升序），先固定最大数c，再枚举剩下的两个数a、b。不是胡乱枚举，要不时间复杂度又是O(n^3)了。

找最大数c的左区间内的最小值和最大值（分别对应左区间中的第一个数和最后一个数），分别用指针left、right指着。

所以，只有两种情况：情况1：a + b > c 、情况2：a + b <= c。

2 + 9 > 10中了情况1，说明构成三角形。left和right中间这些数都 >= 当前left指向的数，那么这些数与right指向的数相加肯定大于c，肯定都满足构成三角形的条件，这一下子就有5个有效三角形的个数（个数求法：下标相减right - left）：

因为9与这些数相加都大于c，所以9用完了，可以right - -。计算新区间中组成三角形三条边的三元组个数：

2 + 5 < 10中了情况2，不满足三角形的条件，当前left和right中间这些数都小于right所指，那么这些数与left所指相加肯定也 <= c（别的示例有等于的情况），这样就不用计算，直接left++：

直到两个指针相遇，结束计算。把最大数换成9，再在9的左区间找最大值和最小值，重复过程。把所有数都固定完一遍就能得到结果。

画图分析到最后发现c在下标为1处时就没有必要再计算了。在下标为0处就更没有必要了。其实写成 i >= 0也没有关系，写成上面分析的样子更标准一点：

四、时间复杂度

分析解法二的时间复杂度：

数组已有序（升序），固定最大数c，从右向左每一个数都可以成为固定的最大数c，那就是O(n)。两个双指针相向移动，遍历一遍数组就可以计算出三角形个数，也是O(n)。循环嵌套，O(n^2)，该解法比优化后的暴力枚举还要好。

五、编写代码

不要在for循环外面定义left、right，因为在循环内部会改变它们的。是每次固定完一个数之后才出现一个左右区间，所以双指针要定义在循环内部。

if里有多个语句想偷懒写成一行，语句中间记住是用逗号分隔开，用分号分隔会导致if语句断掉。

class Solution {
public:int triangleNumber(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());int sum = 0, n = nums.size();for (int i = n - 1; i > 1; --i){int left = 0, right = i - 1;while (left < right){if ((nums[left] + nums[right]) > nums[i]) sum += (right - left), right--;else left++;}}return sum;}
};