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1 打印菱形

常规方法的核心思想是通过控制空格和星号（*）的数量来构造菱形的每一行。

• 上半部分：逐行增加星号数量，减少空格数量。
• 下半部分：逐行减少星号数量，增加空格数量。

1.2 图解

假设我们要打印一个边长为5的菱形：

    ****************
*************************

• 第1行：4个空格 + 1个星号。
• 第2行：3个空格 + 3个星号。
• 第3行：2个空格 + 5个星号。
• 第4行：1个空格 + 7个星号。
• 第5行：0个空格 + 9个星号。
• 第6行开始重复第4到第1行的过程。

1.3 实现代码（chat）

#include <iostream>
using namespace std;void printDiamond(int n) {// 打印上半部分for (int i = 1; i <= n; ++i) {// 打印空格for (int j = 1; j <= n - i; ++j) {cout << " ";}// 打印星号for (int j = 1; j <= 2 * i - 1; ++j) {cout << "*";}cout << endl;}// 打印下半部分for (int i = n - 1; i >= 1; --i) {// 打印空格for (int j = 1; j <= n - i; ++j) {cout << " ";}// 打印星号for (int j = 1; j <= 2 * i - 1; ++j) {cout << "*";}cout << endl;}
}int main() {int n;cout << "input:";cin >> n;printDiamond(n);return 0;
}

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2 曼哈顿距离法打印菱形

曼哈顿距离法利用二维坐标系中的点到中心点的距离来判断是否打印星号。具体步骤如下：

• 将菱形的中心设为原点 (0, 0)。
• 对于每个点 (x, y)，如果其曼哈顿距离（即 $|x|+|y|$）小于等于给定的半径 $r$，则打印星号；否则打印空格。

曼哈顿距离公式为：
$$d=|x|+|y|$$

• 中心点为 (0, 0)。
• 每个点的曼哈顿距离满足 $|x|+|y|\le r$，其中 $r=4$。

cpp代码

#include <iostream>
using namespace std;
void solve(int n) {int r = n - 1; // 菱形的半径for (int y = -r; y <= r; ++y) {for (int x = -r; x <= r; ++x) {if (abs(x) + abs(y) <= r) {cout << "*";} else {cout << " ";}}cout << endl;}
}
int main() {int n;cin >> n;solve(n);return 0;
}

    ** **   **     *
*       **     **   ** **

打印空心菱形，只打印等于半径的位置即可。

#include <iostream>
using namespace std;
void solve(int n) {int r = n - 1; // 菱形的半径for (int y = -r; y <= r; ++y) {for (int x = -r; x == r; ++x) {if (abs(x) + abs(y) <= r) {cout << "*";} else {cout << " ";}}cout << endl;}
}
int main() {int n;cin >> n;solve(n);return 0;
}

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3 一些场景

曼哈顿距离（Manhattan Distance）是计算二维平面中两点之间距离的一种方法，具体的定义如下：
$$d=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$

路径规划与网格图问题
曼哈顿距离常用于网格图中的路径规划问题，特别是在不允许斜向移动的情况下。例如：在一个 $n\times m$ 的网格图中，每个格子可能有障碍物或空地。从起点到终点的最短路径是多少？

• 使用BFS结合曼哈顿距离作为启发式函数。
• 曼哈顿距离可以估算当前点到目标点的最小步数，从而优化搜索效率。

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棋盘问题
在一个 $n\times n$ 的棋盘上，骑士从起点移动到终点所需的最少步数是多少？

• 使用 BFS 搜索所有可能的移动路径。
• 曼哈顿距离可以作为启发式函数，估算当前点到目标点的距离，从而优化搜索方向。

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城市配送问题

给定一个 $n\times n$ 的网格图，某些格子上有货物需求，另一些格子上有配送中心。每个配送中心只能服务一定范围内的需求点。求所有需求点到最近配送中心的总曼哈顿距离。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;const int INF = 1e9;
const int dirs[4][2] = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};int minTotalDeliveryDistance(int n, vector<pair<int, int>>& depots, vector<pair<int, int>>& demands) {vector<vector<int>> distance(n, vector<int>(n, INF));queue<pair<int, int>> q;for (auto& depot : depots) {int x = depot.first, y = depot.second;distance[x][y] = 0;q.push({x, y});}while (!q.empty()) {auto [x, y] = q.front();q.pop();for (int i = 0; i < 4; ++i) {int nx = x + dirs[i][0], ny = y + dirs[i][1];if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < n && distance[nx][ny] > distance[x][y] + 1) {distance[nx][ny] = distance[x][y] + 1;q.push({nx, ny});}}}long long totalDistance = 0;for (auto& demand : demands) {int x = demand.first, y = demand.second;if (distance[x][y] == INF) return -1; // 如果无法到达totalDistance += distance[x][y];}return totalDistance;
}int main() {int n = 5;vector<pair<int, int>> depots = {{0, 0}, {4, 4}};vector<pair<int, int>> demands = {{2, 2}, {3, 3}};cout << "ret: " << minTotalDeliveryDistance(n, depots, demands) << endl;return 0;
}