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正态分布习题集 · 题目篇

全面覆盖单变量正态、多变量正态、参数估计、假设检验、变换以及应用，共 20 题，从基础到进阶。完成后请移步《答案与解析篇》。

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1. 基础定义与性质（5题）

1.1 密度函数

写出正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的概率密度函数（PDF），解释参数含义。

1.2 标准正态变换

给定 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，写出将 $X$ 标准化为 $Z\sim N(0,1)$ 的变换公式，并证明 $Z$ 确实服从标准正态分布。

1.3 主要性质

填表给出正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的 (1) 期望值 (2) 方差 (3) 偏度 (4) 峰度 (5) 熵。

1.4 正态和

证明：若 $X_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 且 $X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 相互独立，则 $X_1+X_2\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$。

1.5 边缘正态

若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，证明其边缘分布 $X$ 和 $Y$ 也是正态的。

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2. 理论推导与关键结果（5题）

2.1 矩生成函数

推导正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的矩生成函数（MGF），并由此计算前四阶矩。

2.2 最大熵原理

证明：在所有均值为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$ 的连续分布中，正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 具有最大熵。

2.3 Q函数与误差函数

建立标准正态 CDF 与误差函数 $\text{erf}(x)$ 的关系，并计算 $P(X>1.5)$ 其中 $X\sim N(0,1)$。

2.4 切比雪夫不等式对比

对于 $X\sim N(0,1)$，计算：
a) 切比雪夫不等式给出的 $P(|X|>2)$ 上界；
b) 真实概率 $P(|X|>2)$。

2.5 条件分布

设 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，相关系数为 $\rho$。求 $Y|X=x$ 的条件分布。

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3. 参数估计与信赖区间（4题）

3.1 估计器比较

样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n\stackrel{i.i.d.}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，比较以下 ${\sigma }^2$ 估计器的表现：
a) ${\hat{\sigma }}_1^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$；
b) ${\hat{\sigma }}_2^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$。

3.2 充分统计量

证明：对于正态总体，$(\bar{X},S^2)$ 是 $(\mu ,{\sigma }^2)$ 的充分统计量。

3.3 区间估计

样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n\stackrel{i.i.d.}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，${\sigma }^2$ 已知。
a) 导出 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间；
b) 若 ${\sigma }^2$ 未知，$\mu$ 的置信区间如何变化？

3.4 Bayesian 估计

设先验 $\mu \sim N({\mu }_0,{\tau }^2)$，${\sigma }^2$ 已知，观测 $X_1,\dots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，求 $\mu$ 的后验分布。

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4. 多变量正态与变换（3题）

4.1 二维正态型态

写出二维正态分布 $(X,Y)$ 的 PDF，并解释协方差矩阵中各参数对等高线形状的影响。

4.2 线性变换

设 $\mathbf{X}\sim N(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$ 为 $k$ 维正态向量，$\mathbf{A}$ 为 $m\times k$ 矩阵。证明 $\mathbf{Y}=\mathbf{AX}$ 服从 $m$ 维正态分布，并给出其均值向量和协方差矩阵。

4.3 独立性与相关性

对多元正态分布，证明：分量间的不相关性与独立性等价。

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5. 应用与检验（3题）

5.1 假设检验功效

某检验判断样本均值是否不等于 100：$H_0:\mu =100$ vs $H_1:\mu \ne 100$。总体标准差为 15，样本量 $n=25$，显著性水平 $\alpha =0.05$。若真实均值为 $\mu =105$，计算此检验的功效（power）。

5.2 正态性检验

简述 3 种检验数据是否服从正态分布的方法，并说明各自适用场景。

5.3 抗体检测

实验室测量了 9 名患者的抗体水平（单位：µg/mL）：22.3, 24.8, 19.7, 23.2, 20.5, 24.1, 21.3, 22.9, 23.8。
假设数据服从正态分布：
a) 构造抗体水平均值的 95% 置信区间；
b) 检验抗体均值是否大于 20 µg/mL（单侧 $\alpha =0.05$）。

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