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本文采用了一种递推计算方法（Welford 算法）实时更新数据的均值、方差和标准差，其算法原理及实现如下。

1. 算法原理

‌Welford算法‌是由B.P.Welford于1962年提出的，用于计算样本均值和样本方差的算法。该算法通过一次遍历数据即可更新方差，减少了计算时间和舍入误差，具有更好的数值稳定性‌。

Welford算法通过以下递推公式计算样本均值和方差：
初始化：
$$M_1=x_1,S_1=0$$

对于接下来的样本值x_k，使用递推公式：

$$M_k=M_{k-1}+(x_k-M_{k-1})/k$$
$$S_k=S_{k-1}+(x_k-M_{k-1})(x_k-M_k)$$

其中，2 ≤ k ≤ n，第k个样本方差估计为
$$s^2=S_k/(k-1)$$

Welford算法相比传统的Two-pass和Naive方法有以下优势：

• 一次遍历‌
  传统方法需要遍历两次数据（Two-pass方法）或一次遍历但需要保存所有数据（Naive方法），而Welford算法只需一次遍历即可完成计算。
• ‌数值稳定性‌
  传统方法在处理大数据集时容易产生舍入误差，而Welford算法通过增量方式更新，减少了误差积累。
• ‌减少计算时间‌
  由于减少了遍历次数和计算步骤，Welford算法在计算效率和速度上更具优势。
• 应用场景
  Welford算法广泛应用于各种需要在线计算统计量的场景，特别是在深度学习中，如PyTorch的LayerNorm实现中就采用了Welford算法来计算方差。LayerNorm在深度学习模型中用于归一化层输出，帮助模型更好地收敛和学习‌

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2. 类设计

• 成员变量：

  • m_num：已处理的数据点数量。
  • m_mean：当前均值。
  • m_sum：递推计算的平方和（用于方差计算）。

• 方法：

  • update(double x)：更新统计量。
  • currentMean(), variance(), stdDev()：获取当前统计值。
  • reset()：重置统计状态。

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3. 完整代码实现

StatisticMethod.h

#pragma onceclass StatisticMethod 
{
public:StatisticMethod();~StatisticMethod();void update(double x);double currentMean() const;double variance() const;double stdDev() const;void reset();private:int m_num;            // 数据点数量double m_mean;        // 当前均值double m_sum;         // 平方和
};

StatisticMethod.cpp

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <cmath>
#include "StatisticMethod.h"StatisticMethod::StatisticMethod() : m_num(0), m_mean(0.0), m_sum(0.0) 
{//使用参数列表初始化
}
StatisticMethod::~StatisticMethod()
{}
// 添加新数据点，更新统计量
void StatisticMethod::update(double x)
{m_num++;double delta = x - m_mean;m_mean += delta / m_num;    // 递推更新均值double delta2 = x - m_mean;m_sum += delta * delta2;    // 递推更新平方和
}// 获取当前均值
double StatisticMethod::currentMean() const
{return m_mean;
}// 计算样本方差（无偏估计）
double StatisticMethod::variance() const
{if (m_num < 2) return 0.0;    // 避免除以0return m_sum / (m_num - 1);
}// 计算标准差
double StatisticMethod::stdDev() const
{return std::sqrt(variance());
}// 重置统计量
void StatisticMethod::reset()
{m_num = 0;m_mean = 0.0;m_sum = 0.0;
}
int main()
{StatisticMethod stats;double data[10] = { 1.0, 2.0, 3.0, 1.5, 6.0, 8.0, 2.0, 6.0, 4.5, 1.0 };for (int i = 0; i < 10; i++){stats.update(data[i]);printf("新增数据： %f | 均值：%f 方差：%f, 标准差：%f\n", data[i], stats.currentMean(), stats.variance(), stats.stdDev());}system("pause");return 0;
}

4. 总结

• 采用Welford 算法：避免传统方法（如先计算总和再求均值）的浮点数精度损失，保证了数值稳定性。
• 处理边界条件：当数据量（n < 2）时，方差返回 0.0。
• 本文算法的优势：内存效率高，仅需要维护3个成员变量，适合实时或大数据场景。
• 对比传统算法：避免存储全部数据，计算复杂度O(1)。