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X²+1素数问题是与哥德巴赫猜想和孪生素数猜想同时代的著名数学难题。是否有无穷个正整数x，使得x²+1总是素数？ 其困难程度不亚于哥德巴赫猜想。特别是100多年以来，许许多多一流数论学者对这个问题进行了研究。
X²+1素数
X²+1素数是一个著名的猜想，人们很早就发现了许多正整数的平方加1以后是素数，例如：
1²+1=2，素数；
2²+1=5，素数；
4²+1=17，素数；
6²+1=37，素数；
10²+1=101，素数；
14²+1=197，素数； 16²+1=257，素数；
20²+1=401，是素数；
24²+1=577，是素数；
....。 这种类型素数有多少？是否有无穷个？
这就是X²+1素数猜想。这个问题其实已经有几百年了，仍然没有得到解决。
这个问题为什么著名
1900年，在法国巴黎召开了第二届国际数学家大会，全能的数学大师希尔伯特发表了{未来的数学问题}这个著名的讲演， 在第25自然段谈到这个问题，问是否有无穷个x²+1素数（参见希尔伯特23个问题），而且还与费马数有关（参见下面其它相关书籍）
这个问题为什么这么困难
与哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一样，这个问题的解决依靠（百度百科：素数普遍公式的解决。没有一个可以表示所有素数的普遍公式， 问题是不能获得解决（参见素数判定法则）。
X²+1素数的公式
“若自然数n不能被不大于
任何素数 整除，则n是一个素数”。 代数学辞典 上海教育出版社 1985年 259页。参见素数。
设n=X²+1。则可以用公式表达：
..........(1)
其中都是素数，最小剩余：
.。
若也就是
。 则X²+1是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换成为同余式组表示：
由于（2）的模都是素数，所以，x在
范围内有唯一解。
例题
k=1时，
。解得x=2，4，...。
.得知2²+1=5是素数。而4暂时不是。 求得了（3，3²）区间的全部X²+1型素数。
k=2时，
，最小的x=6，而
，而我们要求
，所以6暂时不是，无解；
, .。解得x=4，4²+1=17是素数.
求得了（5，5²）区间的全部素数X²+1型素数（仅有一个17）。
k=3时,其中一组解
。解得，x=6，6²+1=37，是素数。,因为，
可以被5整除。
............。
求得了（7,7²）区间的全部X²+1型素数。
k=4时，其中一组解
。10²+1是素数。可以求得（11，11²）区间的全部素数。
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部X²+1素数。并且一个不漏地求得。
但是，我们不知道是否有无穷多个X²+1素数。
有理域知识
有理域通常称为伽罗华域，只有素数和它们的幂才有有限域。 A²=A×A.(例如A有5个元素的域;0,1,2,3,4),因为减2总是可以用加3代替，反之亦然。 对于除法也是一样，因为2的乘法逆元素是3，即2×3=1，所以除以2的除法总是可以用乘以3的乘法表示。
其它书籍相关内容
《数论导引》18页（人民邮电出版社）：是否存在无穷多个x²+1素数，更一般地，如果a，b，c是没有公约数的整数，a是正数，a+b和c不全是偶数，并且b²-4ac不是完全平方数，那么，就有无穷多个形如：ax²+bx+c的素数存在。
《10000个科学难题》数学卷102页，（科学出版社2009年5月第一版）：是否有无穷个正整数x，使得x²+1总是素数？这个问题比孪生素数猜想更加困难，这是因为在正整数中，形如x²+1的数必p+2稀少，所以x²+1为素数的概率更小。
《数论中未解决问题》75页（【加】R.K盖伊著，张明尧译）形如x²+1素数是很少的，但是，如果只有有限个，那么，就可以推出有无限多个费马数是复合数。
X²+1合数与佩尔方程
由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。
发现许许多多X²+1合数有平方因子。
例如：
18²+1=325=5²×13；
32²+1=2025=5²×41；
38²+1=1445=5×17²；
68²+1=4625=5³×37；
70²+1=4901=13²×29；....。
这是一个佩尔方程形式：
38²-5×17²=-1；68²-29×13²=-1