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交叉相关（Cross-Correlation）

交叉相关用于衡量两个信号在不同时间延迟下的相似性。在信号处理中，交叉相关的数学定义如下： 对于离散信号 (x[n]) 和 (y[n])，交叉相关 (R_{xy}[k]) 定义为： [ R_{xy}[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot y[n + k] ] 其中 (k) 是时间延迟。

交叉相关常用于模式匹配、延迟估计和信号对齐。以下是一个计算交叉相关的 Python 示例：

import numpy as npx = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([0, 1, 0.5])
cross_corr = np.correlate(x, y, mode='full')
print(cross_corr)

卷积（Convolution）

卷积是一种数学运算，用于描述线性时不变系统对输入信号的响应。对于离散信号 (x[n]) 和 (h[n])，卷积 (y[n]) 定义为： [ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot h[n - k] ]

卷积在信号处理、图像处理和深度学习中被广泛应用。以下是一个计算卷积的 Python 示例：

import numpy as npx = np.array([1, 2, 3])
h = np.array([0, 1, 0.5])
conv = np.convolve(x, h, mode='full')
print(conv)

区别与联系

交叉相关和卷积的主要区别在于时间反转：

• 卷积需要对其中一个信号进行时间反转（即 (h[n - k])）。
• 交叉相关不需要时间反转（即 (y[n + k])）。

在数学上，交叉相关可以表示为卷积的一种形式： [ R_{xy}[k] = x[-k] * y[k] ]

实际应用

交叉相关常用于：

• 信号对齐
• 雷达和声纳信号处理
• 模板匹配

卷积常用于：

• 线性滤波
• 图像处理（如边缘检测）
• 神经网络中的卷积层