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今天重点学习动态规划问题。在使用递归解决问题时可能会产生性能问题，动态规划算法是为了解决递归产生的性能问题。递归会产生大量的重复问题，可以用空间换时间，用一种数据结构记录所有已经解决的问题。以数据结构为核心，从小问题回归得到大问题。首先设计一个数据结构，记录不同规模的答案，数据结构采用从小到大的方式去生成。
第一题是放苹果，通过一个二维dp数组记录信息。
#include <stdio.h>
#include <cstring>
using namespace std;
int main()
{int dp[13][13] = {0};//dp[m][n]就是m个苹果放入n个盘子int m, n;while(scanf("%d%d", &m, &n)!=EOF){memset(dp, 0, 13*13);for(int i = 0;i<=m;i++){dp[i][1] = 1;//只有一个盘子}for(int i = 1;i<=n;i++){dp[1][i] = 1;//只放一个苹果dp[0][i] = 1;//1个苹果都不放}for(int i = 2;i <= m;i++){for(int j = 2; j <=n;j++){if(i >= j){//applenum > platenumdp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];}else {dp[i][j] = dp[i][j-1];}}}printf("%d\n", dp[m][n]);}return 0;
}第二题是吃糖果。简单动归，可以吃一块或者两块。
#include <stdio.h>
using namespace std;
int main(){int dp[20]={0};dp[1] = 1;//一块巧克力只有一种方案dp[2] = 2;//两块巧克力有两种方案int N;scanf("%d", &N);for(int i = 3;i<=N;i++){dp[i] = dp[i - 1]+dp[i-2];//可以选择吃一块或者吃两块}printf("%d", dp[N]);
}下面学习和线性数据结构相关的动态规划问题，两个序列求最长公共子序列，一个序列内的最大子序列和等等。两个线性表或一个线性表和他本身做对比，希望得到最值，这种需要动态规划。
第三题是最长公共子序列。dp[i][j]表示0～i-1 0～j-1的子序列的最长公共长度，若当前遍历元素相同，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，若不同，则dp[i][j]=max(dp[i][j-1], dp[i-1][j])。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[1002][1002];
int main(){int n, m;char s1[1001];char s2[1001];scanf("%d%d", &n, &m);scanf("%s%s", s1, s2);//dp[i][j] s1的前i个元素 s2前j个元素的最大公共长度for(int j = 0; j<=m;j++){dp[0][j] = 0;//s1的一个元素也没处理}for(int i = 0; i<=n;i++){dp[i][0] = 0;}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=m;j++){//s1[0]~si[i-1] s2[0]~s2[j-1]if(s1[i-1] == s2[j - 1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;}else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}}printf("%d\n", dp[n][m]);}第四题是最长公共字串。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
short dp[10001][10001];
int main(){char s1[10001];char s2[10001];scanf("%s%s", s1,s2);int n = strlen(s1);int m = strlen(s2);for(int j = 0; j <= m;j++){dp[0][j] = 0;}for(int i = 0;i<=n;i++){dp[i][0] = 0;}short curmax = 0;for(int i = 1; i <= n;i++){for(int j = 1;j<=m;j++){if(s1[i-1]>='a'&&s1[i-1]<='z'&&s1[i-1] == s2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;curmax = max(dp[i][j], curmax);}else {//连不起来dp[i][j]=0;}}}printf("%d\n", curmax);return 0;
}第五题是最大子序列和，dp数组代表从头到下标i元素的最大序列和。
#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(){int N;scanf("%d", &N);vector<long> vec1;for(int i = 0; i<N;i++){int val;scanf("%d", &val);vec1.push_back(val);}int size = vec1.size();vector<long> res;res.push_back(vec1[0]);long curmax = res[0];for(int i = 1; i< vec1.size();i++){long curnum = max(res[i-1]+vec1[i], vec1[i]);res.push_back(curnum);curmax = max(curmax, curnum);}printf("%ld", curmax);
}第六题是最大子矩阵。
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(){int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF){if(n == 0) break;vector<int> start(10002);//记录当前元素为结尾的最大连续子序列的起始下标vector<int> vec(10002);//记录数组元素vector<int> dp(10002);//以i为下标元素对应的最大连续子序列和for(int i = 0; i<n;i++){scanf("%d", &vec[i]);}dp[0] = vec[0];start[0] = 0;int curmax = dp[0];for(int i = 1; i<n;i++){int val1 = dp[i-1]+vec[i];int val2 = vec[i];if(val1>=val2){dp[i] = val1;start[i] = start[i-1];}else {dp[i] = vec[i];start[i] = i;}curmax = max(curmax, dp[i]);}if(curmax<0) printf("0 %d %d\n",vec[0],vec[n-1]);else {for(int i = 0;i < n;i++){if(dp[i] == curmax){printf("%d %d %d\n", curmax, vec[start[i]], vec[i]);break;}}}}
}第七题是最大上升序列和。
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(){int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF){int dp[1000];//下标为i 的最大上升序列和vector<int> vec;for(int i=0;i<n;i++){int val;scanf("%d", &val);vec.push_back(val);}int maxsum = 0;for(int i = 0; i<n;i++){dp[i] =vec[i];for(int j = 0; j<i;j++){if(vec[i]>vec[j]){dp[i] = max(dp[j] + vec[i], dp[i]);}}maxsum = max(dp[i], maxsum);}printf("%d\n", maxsum);}
}下面学习01背包问题，首先明确dp数组的含义，dp[i][j]代表下标为0～i之间的物品，任取然后放进容量为j的背包里。不放物品i，dp[i][j] = dp[i-1][j]，放物品i，dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]。dp[i][j]为两者的最大值。明天继续。