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回溯法经典练习：组合总和的深度解析与实战
引言
在算法世界里，回溯法（Backtracking）是解决 组合、排列、子集 等问题的神器。而 “组合总和”（Combination Sum） 问题，更是回溯算法中的经典代表，几乎是算法面试中的常客。
今天，我就带大家从 直觉理解 到 代码实战，深入解析回溯法如何求解 组合总和，并给出代码详解，带你彻底吃透这个问题！
1. 题目解析
🔹 题目描述
给定一个 无重复元素 的正整数数组 candidates，以及一个目标值 target，找到所有可以使数字和为 target 的 唯一组合。
要求：
- 同一个数字可以被无限次使用，但组合的顺序不影响结果（即
{2,2,3}和{3,2,2}视为相同组合）。 - 结果集不能包含重复的组合。
示例：
输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出: [[2,2,3],[7]]
解释: 2+2+3 = 7, 7 = 7，因此答案是 [[2,2,3],[7]]
2. 直觉思考
这个问题的求解方式，可以类比 爬楼梯：
- 每次选择一个数（例如 2 或 3 或 6 或 7）。
- 判断当前累加和是否等于目标值 target。
- 如果超过 target，则不合法，剪枝回溯。
- 如果刚好等于 target，就加入结果集。
看到 “所有组合”、“无序”、“可以重复选择” 这些关键词，回溯法就是最佳选择！
3. 回溯算法核心框架
回溯法的核心思路是 “递归 + 回溯 + 剪枝”，通常分为以下几个步骤：
- 终止条件：当当前路径的总和等于
target，将其加入结果集。 - 选择操作：从
candidates里选择一个数，尝试加入当前路径。 - 递归调用：累加该数后，继续探索下一个可能的组合。
- 回溯撤销选择：探索完该路径后，撤销最后一个选择，回溯到上一步继续尝试其他数。
回溯法的框架：
def backtrack(路径, 选择列表):if 满足结束条件:记录结果returnfor 选择 in 选择列表:做选择backtrack(路径, 选择列表) # 递归撤销选择 # 回溯
4. 代码实战
🔹 Python 代码
from typing import Listdef combinationSum(candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:res = [] # 结果集def backtrack(start, path, total):# 递归终止条件：找到一个满足条件的组合if total == target:res.append(path[:]) # 注意要拷贝 pathreturn# 遍历候选数组for i in range(start, len(candidates)):num = candidates[i]# 剪枝：如果 total + num 超过 target，则不再继续if total + num > target:continue# 选择当前数字，递归path.append(num)backtrack(i, path, total + num) # 这里 `i` 而不是 `i+1`，因为允许重复选择path.pop() # 回溯，撤销选择# 从索引 0 开始搜索backtrack(0, [], 0)return res
5. 代码详解
🔸 递归逻辑
backtrack(start, path, total)start：控制递归深度，避免重复选择前面的数。path：记录当前的组合路径。total：当前路径的累加和。
🔸 关键点
- 循环遍历
candidates：- 从
start位置开始，避免重复使用已选过的数。 - 允许重复选择
candidates[i]，所以backtrack(i, ...)而不是backtrack(i+1, ...)。
- 从
- 剪枝优化：
- 当
total + num > target时，提前终止递归，避免不必要的计算。
- 当
- 回溯撤销选择：
- 递归完一个分支后，撤销
path.append(num)的选择，继续尝试其他数。
- 递归完一个分支后，撤销
6. 测试代码
candidates = [2, 3, 6, 7]
target = 7
print(combinationSum(candidates, target))
输出结果：
[[2, 2, 3], [7]]
7. 复杂度分析
假设 candidates 长度为 N，目标值 target：
- 最坏情况下，回溯的搜索树是一个
N叉树，高度为target/min(candidates)。 - 时间复杂度 近似为
O(2^N)（指数级）。 - 空间复杂度 近似
O(N)（递归栈空间 + 结果集存储）。
8. 进阶优化
🔹 剪枝优化
在搜索前 先对 candidates 排序，一旦发现 total + num > target，就可以提前停止当前分支，减少不必要的递归：
candidates.sort() # 先排序，提高剪枝效率
🔹 记忆化搜索
如果 candidates 很多，可以用 字典（哈希表） 存储 target 计算结果，避免重复计算。
9. 结语
回溯法是组合问题的利器，而 “组合总和” 这个问题，是典型的 递归 + 剪枝 题目，掌握它，你就能轻松应对类似的算法题。
🔹 复习总结
- 回溯三步走：选择 -> 递归 -> 回溯。
- 通过
start参数避免重复，i位置不变以允许重复选取数字。 - 剪枝优化：如果
total + num > target，则立即跳过。 - 理解递归树的结构，有助于更好地 Debug。