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第二章: 机器学习与神经网络概述

第四部分：回归算法理论与实践

第一节：线性回归模型

内容：多重共线性、正则化方法（如Lasso和Ridge回归）。

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一、线性回归基础回顾

线性回归是预测型建模的经典方法，假设因变量 y 与一组自变量 存在线性关系：

其中：

• 为待估系数

• ε 为误差项

目标：最小化残差平方和（Ordinary Least Squares，OLS）

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二、多重共线性问题（Multicollinearity）

当多个自变量之间存在高度线性相关性时，会导致：

• 系数估计不稳定

• 模型解释性降低

• 预测性能变差

检测方法：

• 相关系数矩阵

• 方差膨胀因子（VIF）：若 VIF > 10 通常视为强共线性

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三、正则化方法：控制过拟合与共线性

为避免过拟合和共线性，可在损失函数中加入惩罚项，常见方法如下：

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1. 岭回归（Ridge Regression）

在 OLS 的基础上加入 L2 正则项：

• λ：正则化强度（超参数）

• L2正则会压缩系数，但不会变为零

from sklearn.linear_model import Ridge
ridge = Ridge(alpha=1.0)
ridge.fit(X_train, y_train)

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2. Lasso 回归（Lasso Regression）

在 OLS 中加入 L1 正则项：

• L1正则具有稀疏性，可将部分系数压为 0，实现特征选择

from sklearn.linear_model import Lasso
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X_train, y_train)

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3. 弹性网（Elastic Net）

结合 L1 与 L2 正则的优点：

适合特征多且部分相关的情况。

from sklearn.linear_model import ElasticNet
enet = ElasticNet(alpha=0.1, l1_ratio=0.5)
enet.fit(X_train, y_train)

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四、线性回归与正则化方法对比

项目	普通线性回归	岭回归（Ridge）	Lasso 回归	弹性网
正则方式	无	L2	L1	L1 + L2
抑制共线性	❌	✅	⚠️ 部分有效	✅
特征选择能力	❌	❌	✅	✅
稀疏性	❌	❌	✅	⚠️ 视参数而定

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge, Lasso
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.model_selection import train_test_split# 1. 构造非线性数据（sin曲线 + 噪声）
np.random.seed(0)
X = np.sort(np.random.rand(40))
y = np.sin(2 * np.pi * X) + np.random.randn(40) * 0.1
X = X.reshape(-1, 1)# 2. 拆分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)# 3. 定义三种回归模型：普通线性回归、Ridge、Lasso
degree = 10  # 多项式回归阶数
models = {"Linear Regression": make_pipeline(PolynomialFeatures(degree), LinearRegression()),"Ridge (alpha=1)": make_pipeline(PolynomialFeatures(degree), Ridge(alpha=1)),"Lasso (alpha=0.01)": make_pipeline(PolynomialFeatures(degree), Lasso(alpha=0.01, max_iter=10000))
}# 4. 可视化
plt.figure(figsize=(10, 6))
x_plot = np.linspace(0, 1, 100).reshape(-1, 1)# 5. 拟合并绘图
for name, model in models.items():model.fit(X_train, y_train)y_plot = model.predict(x_plot)plt.plot(x_plot, y_plot, label=name)# 6. 原始数据点
plt.scatter(X, y, color="black", label="Data", s=20)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 解决负号'-'显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.title("模型拟合曲线图：普通线性回归 vs 正则化方法")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

图示

上图展示了模型拟合效果的对比：

• 普通线性回归（Linear Regression）在高阶多项式下容易产生过拟合，曲线剧烈波动。

• Ridge回归（L2正则化）在保留部分复杂度的同时抑制了系数过大，使得模型更平滑。

• Lasso回归（L1正则化）在压缩部分特征系数为0的同时提升了模型的稀疏性，有助于特征选择。

该图直观说明了正则化在控制过拟合方面的优势。

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五、Python 示例与模型评估

from sklearn.model_selection import cross_val_score, train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso, ElasticNet
from sklearn.datasets import make_regression# 生成模拟回归数据
X, y = make_regression(n_samples=1000, n_features=10, noise=0.1, random_state=42)# 划分训练集和测试集（此处仅用训练集做演示）
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 初始化和训练Ridge模型
ridge = Ridge(alpha=1.0)
ridge.fit(X_train, y_train)# 初始化和训练Lasso模型
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X_train, y_train)# 初始化和训练ElasticNet模型
enet = ElasticNet(alpha=0.1, l1_ratio=0.5)
enet.fit(X_train, y_train)# 比较模型交叉验证分数
for model in [ridge, lasso, enet]:scores = cross_val_score(model, X_train, y_train, cv=5, scoring='neg_mean_squared_error')print(f"{model.__class__.__name__} 平均MSE: {-scores.mean():.4f}")

 运行结果

Ridge 平均MSE: 0.0587
Lasso 平均MSE: 0.1149
ElasticNet 平均MSE: 46.9568