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1 基本概率论

1.1 假设我们掷骰子，想知道1而不是看到另一个数字的概率，如果骰子是公司，那么所有6个结果(1..6),都有相同的可能发生，因此，我们可以说1发生的概率为1/6.

然而现实生活中，对于我们从工厂收到的真实骰子，我们需要检查它是否有瑕疵，唯一的办法就是多投掷骰子，对于每个骰子观察到的[1.2...6]的概率随着投掷次数的增加，越来越接近1/6.

导入必要的包

%matplotlib inline

import torch

from torch.distributions import multinomial

from d2l import torch as d2l

在统计学中，我们把从概率分布中抽取样本的过程称为抽样，笼统地说，可以吧分布看作是概率的分配，稍后我们将给出更加正式的定义，将概率分配给一些离散选择的分布称为多项分布。

为了抽样一个样本，掷骰子，我们只需要输入一个概率向量，输出是另一个相同长度的向量，在索引i处的值时采样结果i出现的次数。

fair_probs = torch.ones([6])/8;

multinomial.Multinomial(), fair_probs).sample()

tensor(0,1,0,0,0,0);

在估计一个骰子的公平性时，我们希望同一分布中生成多个样本，如果用python的for循环完成这个任务，速度回慢得惊人，因此我们使用深度学习框架函数同时抽取多个样本，以得到我们想要的任何形状的独立样本数组。

multinomial.Multinomial(10,fair_probs).sample()

tensor([1,1,2,1,3,2]);

现在我们知道如何对骰子进行抽样，我们可以模拟1000次投掷，然后，我们可以统计1000次投掷后每个数组呗投中了多少次，具体来说，我们计算相对频率，以作为对真实概率的估计。

将结果存储为32位浮点数以进行除法。

counts=multinomial.Multinomial(1000, fair_probs).sample();

counts / 1000;

tensor([0.1500,0.1770,0.1540,0.1000,0.1790,0.1600]);

因为我们是从一个公平的骰子中生成的数据，我们知道每个结果都有真实的概率1/6，约为0.167，所以上面输出的估计值看起来不错。

我们也可以看到这些概率如何随着时间的推移收敛的真实概率，我们进行500组实验，每组抽取10个样本。

每条实线对应骰子的6个值的一个，并给出骰子的每组实验后出现值的估计概率，当我们同过更多的实验获得更多的数据时，这6条实体曲线向真实概率收敛。

一 概率论公理

在处理骰子的掷出结果时，我们将集合S=(1,2,3,4,5,6)称为样本空间 或结果空间，其中每个元素都是结果，事件时一组给定样本空间的随机结果，例如，看到5，和看到奇数都是掷骰子的有效事件。注意，如果一个随机试验的结果在A中，则事件A已经发生，也就是说，如果掷出3点，因为3 < {1,3,5} 我们可以说，看到奇数的事件发生了。

概率 可以呗认为是将集合映射到真实值的函数，在给定的样本空间S中，事件A的概率表示为P(A),具有一下属性。

1 对于任意事件A，其概率不会为负数，即P(A) >= 0

2 整个样本空间的概率为1，即P(S) = 1

3 序列中任意一个事件发生的概率等于他们各自发生的概率之和。

二 随机变量

在我们掷骰子的随机试验中，我们引入了随机变量random variable的概率，随机变量几乎可以取任何数值，并且它可以在随机试验的一组可能性中取一个值，考虑一个随机变量X，其值的掷骰子的样本空间中S={1,2,3,4,5,6} 我们可以将事件，看到一个5

表示为或{X=5}或X=5，其概率表示为P{X=5}或者P(X=5) 通过P(X=a) 我们可以区分随机变量X和X可以取的值，然而，这可能会导致繁琐的表示，为了简化符号，一方面，我们可以将P(X) 表示为随机变量X上的分布(distribution) 分布告诉我们X取得某一值的概率，另一方面，我们可以简单的用P(a) 表示随机变量取值为a的概率由于概率论中的事件是来自样本空间的一组结果，因此我们可以为随机变量指定值的取值范围。例如，P(1<<X<<3)表示事件(1<<X<<3) 即(X=1,2,3)的概率，等价的，P(1<<X<<3)表示随机变量X从{1,2,3}中取值的概率。

离散随机变量和连续(continnuous) 随机变量之间存在微妙的区别，现实生活中，测量两个人是否具有相同的身高没有太大意义，如果我们进行足够精确的测量，最终会被发现这个星球上没有两个人具有完全相同的身高，在这种情况下，询问某人的身高是否落入给定的区间，比如是否在1.79米-1.81米更有意义。我们将这个看到某个数值的可能性量化为密度(density)，身高恰好为1.8米的概率为0， 但是密度不是0，在任何两个不同身高之间的区间，我们都有非零的概率。在本节的其余部分中，我们将考虑离散空间中的概率，连续随机变量的概率可以参考本书英文附录。

2.6.2 处理多个随机变量

很多时候，我们会考虑多个随机变量，比如，我们可能需要对疾病和症状之间的关系建模。给定一个疾病和一个症状，比如流感和咳嗽，以某个概率存在或者不存在于某个患者身上。我们需要估计这些概率以及概率之间的关系，以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。

再举一个例子，图像包含数百万像素，因此有数百万个随机变量。在许多情况下，图像会附带一个标签label，以标识图像中的对象。我们也可以将标签视为一个随机变量。我们甚至可以将所有元数据视为随机变量，例如位置。时间，光圈，焦距，ISO值，对距离和相机类型，所有这些都是联合发生的随机变量。当我们处理多个随机变量时，会有若干变量是我们感兴趣的。