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前言

在前面两节中，已经学习了关系的形式化定义以及有关概念、关系的有关操作、关系的三类完整性约束，接下来我们将介绍关系数据库系统中关系操作的一种语言——关系代数。

关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询。运算的三大要素为：运算对象、运算符、运算结果。关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用到的运算符包括两类：集合运算符和专门的关系运算符。

一.传统的集合运算

 传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。

设关系R和关系S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），且相应的属性取自同一个域，t是元组变量，t∈R表示t是R的一个元组。

下面为了方便展示与理解，我们引入关系R和S如下表：

1.并

 ，其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。上述关系R和S的并可以表示如下，可以发现，重复的元组只需要书写一遍。

2.差

，其结果关系仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。上述关系R和S的差可以表示如下，R-S中，其实寻找的就是独属于R自己本身的一些元组。

3.交

 ，其结果关系仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。上述关系R和S的交可以表示如下。

4.笛卡尔积⭐

 两个分别为n目和m目的关系R和S的笛卡尔积是一个n+m列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的笛卡尔积有k1×k2个元组。记作：。上述关系R与S的笛卡尔积可以表示如下。进行运算之前，关系R共有3目，3个元组，关系S共有3目，3个元组；进行笛卡尔积之后，R×S中，共包含（3+3）=6目（即6列），3*3=9个元组（即9行）。

笛卡尔积与前三种运算不一样，并、差、交运算过后，保持原关系目数不变，而笛卡尔积改变了原关系的目数，熟记笛卡尔积运算过后的目数以及元组个数计算方法。

二、专门的关系运算

1.选择

选择又称为限制。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组【行操作】，记作：，其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。

逻辑表达式F的基本形式为：X1θY1

其中θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或＜＞（不等于）。X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。

可以来看几个例子更好的理解这种运算，在使用或者书写时，σ表示进行选择操作，而在其右下角给出了具体的选择条件，括号中则体现了在哪一组关系中进行选择，那么，例2.4给出的表达式的具体含义便为在学生关系Student中，寻找Sdet属性为“IS”的学生。简单来讲，其实这里面的选择的运算和Excel中的筛选功能相似，可以参考记忆。

 2.投影

关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：

其中A为R中的属性列。投影操作是从列的角度进行的运算【列操作】。

下面来看例子，在使用或者书写时，Π表示进行投影操作，在其右下角表示着要进行投影的属性【就是要选出的列】，括号中则体现着对哪个关系表进行操作。那么，例2.6给出的表达式的具体含义为在学生关系Student中，对Smane、Sdept两列进行投影，即选择这两列构成新的关系。在投影操作中，重复的分量会被避免重复出现，仅显示一次。

3.连接⭐

 连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：，其中，A和B分别为R和S上列数相等且可比的属性组，θ是比较运算符。连接运算从R和S的笛卡儿积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。

下面介绍两种特殊的连接

下面通过具体的例子更好的理解连接

在例2.8中，非常好的展示了种种连接之间的区别与联系，（c）中，满足C<E这一要求的元组才会被选择进入关系；（d）中，利用关系R与关系S中都有的B属性进行等值比较，相等的元组进行连接；（e）是对（d）的进一步操作，删除了（d）中的重复列，其余部分无变化。

在进行连接操作中，有些元组不会被使用，从而被舍弃，他们被称为悬浮元组。如果在连接中，用“NULL”进行填补，这种连接叫作“外连接”。如果仅保留左边的悬浮元组，称为“左外连接”；如果仅保留右边的悬浮元组，称为“右外连接”。

上图很明显的展示了三种“外连接”，（a）的倒数第二行的元组来自于关系R，而在关系S中，无法进行连接，因此用“NULL”填补，最后一行同理。然后根据保留左边或者右边分为左外连接或者右外连接。